广义坐标系下弧长公式的严谨推导问询

嘿，我完全理解你想要搞懂这个公式严谨推导的需求——虽然直觉上能和切向量长度挂上钩，但底层逻辑确实得掰开揉碎了说，咱们一步步来拆解：

首先得明确几个核心定义的关联：

• 度量张量定义的线元$ds^2 = \sum_i\sum_j g_{i,j} dx^i dx^j$，本质就是广义坐标系中两个无限邻近点之间的“距离平方”的微分形式。
• 弧长的微分$d\ell$是一个正实数，它满足$(d\ell)^2 = ds^2$——这是弧长微分的基本定义，因为弧长是标量，必须是非负的。

接下来看参数化曲线$x^i(t)$：
曲线上任意两个无限邻近的点，对应参数$t$和$t+dt$，它们的坐标差可以用参数的微分表示：$dx^i = \frac{dx^i}{dt} dt$，这是参数化曲线的基本性质——坐标随参数的变化率乘以参数微分，就是坐标的微小变化量。

现在把$dx^i = \frac{dx^i}{dt} dt$代入线元公式：
$$
\begin{align*}
ds^2 &= \sum_i\sum_j g_{i,j} \left( \frac{dx^i}{dt} dt \right) \left( \frac{dx^j}{dt} dt \right) \
&= \left( \sum_i\sum_j g_{i,j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} \right) (dt)^2
\end{align*}
$$

根据弧长微分的定义$(d\ell)^2 = ds^2$，两边取正平方根（因为弧长是递增的，$d\ell$为正）：
$$
d\ell = \sqrt{\sum_i\sum_j g_{i,j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} \ |dt|
$$

如果我们取参数$t$是单调递增的（这是曲线参数化的常规设定，比如用时间、或者弧长本身作为参数），那么$|dt|=dt$，就得到了你提到的公式：
$$
d\ell = \sqrt{\sum_i\sum_j g_{i,j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} dt
$$

关于你尝试对$ds^2$求导没成功的原因 #

你提到想对$ds^{2$求时间导数，这里的误区在于：$ds}2$不是某个关于$t$的函数的平方，而是两个邻近点之间的线元平方，它描述的是曲线局部的几何性质，而非单个点的函数。如果我们定义曲线上从$t_0$到$t$的弧长为$\ell(t)$，那么$\ell(t)$的导数$\frac{d\ell}{dt}$其实就是切向量的模长——因为切向量$v^i = \frac{dx^i}{dt}$，度量张量作用在切向量上得到的就是向量的长度平方$g(v,v) = g_{i,j}v^i v^j$，所以$\frac{d\ell}{dt} = \sqrt{g(v,v)}$，这和你直觉里“切向量的微小长度”完全对应。

更严谨的极限定义推导 #

如果要从弧长的原始定义（内接折线长度的极限）出发：

1. 把参数区间$[t_0, t]$分成$n$个小段，每个小段的参数增量为$\Delta t_k$，对应曲线上的点$x^i(t_k)$和$xi(t_k+\Delta t_k)$。
2. 两点之间的距离（由度量张量给出）近似为$\sqrt{g_{i,j}(x^i(t_k)) \Delta x^i_k \Delta x^j_k}$，其中$\Delta x^i_k \approx \frac{dx^i}{dt}(t_k) \Delta t_k$（一阶泰勒展开）。
3. 内接折线的总长度为$\sum_{k=1}^n \sqrt{g_{i,j}(x^i(t_k)) \frac{dx^i}{dt}(t_k) \frac{dx^j}{dt}(t_k)} \Delta t_k$。
4. 当$n \to \infty$、$\Delta t_k \to 0$时，这个和的极限就是弧长的积分：$\int_{t_0}^t \sqrt{\sum_i\sum_j g_{i,j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} dt$，这就把微分公式和弧长的严格定义完全联系起来了。

这样拆解下来，应该就能把这个公式的来龙去脉说清楚啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2610818