环论习题求解：构造环同构所需的环S及证明思路提示

哈哈，刚看到这个环论习题的时候确实容易懵，别慌，咱们从矩阵环最核心的结构入手来拆解思路：

首先回忆一下M_n(R)里的矩阵单位：就是那些第i行j列元素为1、其余为0的矩阵$E_{ij}$，它们有几个关键性质：

• $E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}$（只有当j=k时乘积才非零，结果是$E_{il}$）
• $\sum_{i=1}^n E_{ii} = I_n$（所有对角矩阵单位的和是单位矩阵）

现在我们有环同态$f:M_n(R)\to T$，可以把这些矩阵单位映射到T里，记$e_{ij} = f(E_{ij})$。根据同态的性质，这些$e_{ij}$在T里也满足对应的关系：

• $e_{ij}e_{kl} = \delta_{jk}e_{il}$
• $\sum_{i=1}^n e_{ii} = 1_T$（因为f把M_n(R)的单位元$I_n$映到T的单位元$1_T$）

第一步：构造环S #

直接取$S = e_{11}Te_{11}$，也就是T中所有形如$e_{11}t e_{11}$（$t\in T$）的元素构成的集合。你可以简单验证一下这确实是个环：

• 加法封闭：$e_{11}t_1e_{11} + e_{11}t_2e_{11} = e_{11}(t_1+t_2)e_{11} \in S$
• 乘法封闭：$(e_{11}t_1e_{11})(e_{11}t_2e_{11}) = e_{11}t_1e_{11}t_2e_{11} = e_{11}(t_1e_{11}t_2)e_{11} \in S$
• 单位元就是$e_{11}$，因为$e_{11}\cdot e_{11}t e_{11} = e_{11}t e_{11}$，反之亦然

第二步：构造同构$g:T\to M_n(S)$ #

对于任意$t\in T$，定义$g(t)$是一个n阶矩阵，它的第(i,j)位置元素为$a_{ij} = e_{1i}t e_{j1}$（这个元素肯定属于S，因为$e_{1i}=e_{11}e_{1i}$、$e_{j1}=e_{j1}e_{11}$，所以$a_{ij}=e_{11}(e_{1i}t e_{j1})e_{11} \in S$）

接下来验证g是环同构：

1. 同态性
   • 加法：$g(t_1+t_2)$的(i,j)元是$e_{1i}(t_1+t_2)e_{j1} = e_{1i}t_1e_{j1} + e_{1i}t_2e_{j1}$，正好是$g(t_1)+g(t_2)$的(i,j)元
   • 乘法：$g(t_1t_2)$的(i,j)元是$e_{1i}(t_1t_2)e_{j1}$，利用$\sum_{k=1}^n e_{kk}=1_T$拆分得：
     $e_{1i}t_1(\sum_{k=1}^n e_{kk})t_2e_{j1} = \sum_{k=1}^n e_{1i}t_1e_{kk}t_2e_{j1} = \sum_{k=1}^n (e_{1i}t_1e_{k1})(e_{1k}t_2e_{j1})$，这正好是矩阵$g(t_1)$和$g(t_2)$相乘后的(i,j)元
2. 单射性
   假设$g(t)=0$，也就是对所有i,j都有$e_{1i}t e_{j1}=0$。那么：
   $t = 1_T t 1_T = (\sum_{i=1}^n e_{ii})t(\sum_{j=1}^n e_{jj}) = \sum_{i,j} e_{ii}t e_{jj} = \sum_{i,j} e_{i1}e_{1i}t e_{j1}e_{1j} = \sum_{i,j} e_{i1}(e_{1i}t e_{j1})e_{1j} = 0$
   所以只有t=0时g(t)=0，单射成立
3. 满射性
   任取一个矩阵$A=(s_{ij})\in M_n(S)$，其中每个$s_{ij}=e_{11}x_{ij}e_{11}\in S$。定义$t = \sum_{i,j} e_{i1}s_{ij}e_{1j}$，计算$g(t)$的(k,l)元：
   $e_{1k}t e_{l1} = e_{1k}(\sum_{i,j}e_{i1}s_{ij}e_{1j})e_{l1} = \sum_{i,j} e_{1k}e_{i1}s_{ij}e_{1j}e_{l1} = \sum_{i,j} \delta_{ki}e_{11}s_{ij}\delta_{jl}e_{11} = s_{kl}$
   所以$g(t)=A$，满射成立

这样我们就找到了满足条件的环S和同构g啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TOP STIN ELLADA