关于有界整数构成的不同有理分数间距下界的数论问题求助

最近碰到了一个挺有意思的数论问题，想请大家帮忙看看：

给定互不相同的整数 (a, b, c, d < N)（满足 (a < b) 且 (c < d)），其中 (N) 是整数，证明 (\frac{a}{b}) 和 (\frac{c}{d}) 的差值至少为 (\frac{1}{N^2})。

我自己先试着推导了一下，首先考虑两个分数的差：
$$
\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}
$$
因为 (b) 和 (d) 都小于 (N)，所以 (bd < N^2)，于是可以得到：
$$
\left|\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\right| = \frac{|ad - bc|}{bd} > \frac{|ad - bc|}{N^2}
$$

接下来我用了不妨设（WLOG）(b < d) 的思路，分两种情况讨论：

• 当 (a > c) 时，我推导出分子 (ad - bc) 的值大于1，这样代入上面的式子就能直接得到结论；
• 但当 (a < c) 的时候我就卡壳了——这时候得考虑 (a) 比 (c) 小多少才会让分子的绝对值尽量接近1，怎么都找不到突破口，实在不知道该怎么继续了。

有没有大佬能给点思路或者提示呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者requiemman