关于在$(C([0,1]),\Vert \cdot\Vert_{\infty})$中证明闭球$B_1(0)$为闭集的证明错误咨询

我正在学习赋范空间相关内容，现在要处理的问题是：给定装备一致范数$\Vert f\Vert_{\infty}=\sup\limits_{x\in[0,1]}|f(x)|$的连续函数空间$(C([0,1]),\Vert \cdot\Vert_{\infty})$，证明闭球$B_1(0):={f\in C([0,1])\mid\Vert f\Vert_{\infty}\leq 1}$是闭集。

我自己写了下面的证明步骤：

设$(f_n){n\in\mathbb{N}}$是该空间中的收敛序列，$f$是它的极限函数。对于任意$\epsilon>0$，存在$n_0\in\mathbb{N}$，使得当所有$n>n_0$时，有：
$$\begin{align*}
&\Vert f\Vert{\infty}-\Vert f_n\Vert_{\infty}\leq \Vert f-f_n\Vert_{\infty}<\epsilon\
&\implies \Vert f\Vert_{\infty}<\epsilon+\Vert f_n\Vert_{\infty}\leq\epsilon+1.
\end{align*}$$
由于$\epsilon>0$是任意的，因此必须有$\Vert f\Vert_{\infty}\leq 1$——否则$\Vert f\Vert_{\infty}$就不是最小上界了。由此可推出$f\in B_1(0)$。

我之前百分百确信这个证明是正确的，但我的导师批注说我不能这么做，让我参考标准答案。我实在搞不清自己的证明哪里有问题，想请大家帮忙指出错误所在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Philipp