16格棋盘上4红4蓝球的组合数计算技术问询

嘿，我懂你一开始的思路——把每个球都当成独一无二的来算，16个格子里放第一个球有16种选择，第二个15种……直到第8个球有9种，所以算出16×15×…×9 = 16!/(8!)，对吧？但你也意识到了，这个算法的问题在于4个红球是完全相同的，4个蓝球也是完全相同的，这就导致你多算了很多重复的组合。

那咱们来梳理正确的计算逻辑：

• 第一步，先从16个格子里选出4个位置放红球，这一步的组合数是组合数C(16,4)，公式展开就是 16!/(4!×(16-4)!)
• 第二步，选完红球后，还剩下12个空格子，我们再从这12个里选4个放蓝球，组合数是C(12,4)，展开为 12!/(4!×(12-4)!)
• 把这两个组合数相乘，就是总的合法组合数——因为题目明确说对称的棋盘算不同的组合，所以我们完全不用考虑对称去重的问题，直接相乘就行。

我们可以把两个公式合并简化，会发现中间的12!可以约掉：
C(16,4) × C(12,4) = (16!/(4!×12!)) × (12!/(4!×8!)) = 16!/(4!×4!×8!)

其实这个结果也可以从你最初的推导修正过来：你原来算的16!/8!是把8个球（4红4蓝）当成不同个体的排列数，但因为4个红球之间的任意交换都不算新组合，4个蓝球同理，所以要除以红球的排列数4!和蓝球的排列数4!，最终得到的就是(16!/8!) / (4!×4!) = 16!/(4!×4!×8!)，和上面的结果一致。

如果代入数值计算的话，这个数是1820 × 495 = 890900，你可以验证一下这个结果~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ekadh Singh