算术图灵度的迭代跳跃与0的迭代跳跃是否最终图灵等价？

先从基础背景说起：对于任意集合 $A\subseteq \omega$，我们可以通过迭代图灵跳跃操作，得到一个严格递增的图灵度序列：
$$A<_T A'<_T A'' <_T\dots.$$

根据Post定理，我们知道如果 $A$ 是可定义/算术的，那么一定存在某个自然数 $n$，使得 $0\leq_T A\leq_T 0^{(n)}$。这意味着从 $0$ 出发的跳跃序列和从 $A$ 出发的跳跃序列是相互交错的。而你提出的核心问题是：

设 $d$ 是一个算术图灵度（换句话说，存在某个 $n$ 使得 $d\leq_T 0^{(n)}$），是否存在自然数 $k$ 和 $m$，使得 $d^{(k)} \equiv_T 0^{(m)}$？

我的结论是：答案是否定的。

先看去掉可定义性假设的情况，我们可以通过力迫/绝对性论证证明这一点：如果 $c$ 是哥德尔可构造集宇宙 $L$ 上的科恩实数，那么 $c$ 的任意有限次跳跃（甚至是任何合理的无穷次跳跃）都不在 $L$ 中，因此不可能与 $0$ 的某次迭代跳跃等价——毕竟 $0$ 的所有迭代跳跃都属于 $L$。

再回到算术度的场景，根据Shoenfield绝对性定理，具有这种性质的度其实已经存在于 $L$ 中了：也就是说，确实存在算术图灵度 $d$，它的任意有限次跳跃都无法与 $0$ 的某次迭代跳跃实现图灵等价。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Miha Habič