构造具有指定水平集的二元初等函数

嘿，我刚好想到一个可行的构造方法，咱们一步步来梳理：

首先，我们的目标是找到一个二元初等函数 ( f(x,y) )，满足：

• 当 ( f(x,y)=1 ) 时，对应的水平集是椭圆 ( 2x^2+y2=1 )
• 当 ( f(x,y)=2 ) 时，对应的水平集是圆 ( x^2+y2=9 )

核心思路是构造一个关于 ( t ) 的曲线方程，让 ( t=1 ) 对应目标椭圆，( t=2 ) 对应目标圆，再把 ( t ) 解出来作为 ( f(x,y) )。

我们先假设对于任意的 ( t )，对应的水平集曲线可以写成如下形式：
[ (2 - (t-1))x^2 + y^2 = 1 + 8(t-1) ]
这里的系数是特意调整过的：

• 当 ( t=1 ) 时，方程简化为 ( 2x^2 + y^2 = 1 )，正好是目标椭圆；
• 当 ( t=2 ) 时，方程简化为 ( x^2 + y^2 = 9 )，正好是目标圆。

接下来我们把这个方程整理，解出 ( t )：
[
\begin{align*}
(3 - t)x^2 + y^2 &= 8t - 7 \
3x^2 - tx^2 + y^2 &= 8t - 7 \
-tx^2 - 8t &= -3x^2 - y^2 - 7 \
t(x^2 + 8) &= 3x^2 + y^2 + 7 \
t &= \frac{3x^2 + y^2 + 7}{x^2 + 8}
\end{align*}
]

这个 ( t ) 就是我们要找的函数 ( f(x,y) )，它是一个分式函数，完全属于初等函数范畴。我们来验证一下：

• 当 ( f(x,y)=1 ) 时，代入得 ( \frac{3x^2 + y^2 + 7}{x^2 + 8}=1 )，化简后就是 ( 2x^2 + y^2=1 )，符合要求；
• 当 ( f(x,y)=2 ) 时，代入得 ( \frac{3x^2 + y^2 + 7}{x^2 + 8}=2 )，化简后就是 ( x^2 + y^2=9 )，完全符合目标。

这样就得到了满足条件的初等函数啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Johan