证明线性同态诱导的对偶空间映射为线性同态

嘿，你已经离答案很近啦！我来帮你把思路补全，一步步理清楚：

首先提个小细节：你写的$f^: V^ \to W^$其实有点小问题——因为$g \in V^$是从$V$到$K$的线性泛函，$f: V \to W$，那$g \circ f$还是从$V$到$K$的映射，依然属于$V^{*$，所以正确的诱导映射应该是$f}: W^ \to V^*$（把$W$上的线性泛函映射到$V$上的），不过这个小笔误不影响我们的证明逻辑～

我们要分两步完成证明：

1. 先验证$f^*$的像确实在对偶空间里（也就是$g \circ f$是线性泛函）；
2. 再证明$f^{*$本身是线性映射（即$f}*$是线性同态）。

第一步：证明$g \circ f$是线性泛函 #

根据线性泛函的定义，我们需要证：对任意$v_1, v_2 \in V$，$\alpha \in K$，有
$$(g \circ f)(\alpha v_1 + v_2) = \alpha (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2)$$

一步步展开左边：
$$(g \circ f)(\alpha v_1 + v_2) = g\left(f(\alpha v_1 + v_2)\right)$$
因为$f$是线性同态，满足线性性，所以$f(\alpha v_1 + v_2) = \alpha f(v_1) + f(v_2)$，代入上式得：
$$= g\left(\alpha f(v_1) + f(v_2)\right)$$
又因为$g$是$W^$里的线性泛函（本身就是线性映射），所以$g$也满足线性性，因此：
$$= \alpha g(f(v_1)) + g(f(v_2)) = \alpha (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2)$$
这样就证明了$g \circ f$是线性泛函，也就是$f^(g)$确实属于对偶空间。

第二步：证明$f^*$本身是线性映射 #

线性映射的定义是：对任意$g_1, g_2 \in W^$，$\alpha \in K$，有
$$f^(\alpha g_1 + g_2) = \alpha f^(g_1) + f^(g_2)$$

我们从两边分别推导，看是否相等：

• 左边：根据$f^{*$的定义，$f}*(\alpha g_1 + g_2) = (\alpha g_1 + g_2) \circ f$。对任意$v \in V$，这个映射的作用是：
  $$\left(\alpha g_1 + g_2) \circ f\right = (\alpha g_1 + g_2)\left(f(v)\right)$$
  而线性泛函的线性组合定义为$(\alpha g_1 + g_2)(w) = \alpha g_1(w) + g_2(w)$（对任意$w \in W$），所以代入得：
  $$= \alpha g_1(f(v)) + g_2(f(v))$$

• 右边：$\alpha f^(g_1) + f^(g_2) = \alpha (g_1 \circ f) + (g_2 \circ f)$。对任意$v \in V$，它的作用是：
  $$\left\alpha (g_1 \circ f) + (g_2 \circ f)\right = \alpha (g_1 \circ f)(v) + (g_2 \circ f)(v) = \alpha g_1(f(v)) + g_2(f(v))$$

左边和右边对任意$v \in V$的作用完全相等，所以作为线性泛函，它们是同一个映射，即：
$$f^(\alpha g_1 + g_2) = \alpha f^(g_1) + f^*(g_2)$$

这样就完整证明了$f^*$是线性同态啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen