关于从ℚ/ℤ到ℤ/2ⁿℤ的非平凡群同态存在性的求解问询

我正在思考这个群论问题：是否存在从$\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$到$\Bbb{Z}/2^n\Bbb{Z}$（$n\ge 1$）的非平凡群同态？

目前我的推导思路是：假设存在这样的群同态$f:\Bbb{Q}/\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}/2^n\Bbb{Z}$，任取$a\in \Bbb{Q}/\Bbb{Z}$，令$f(a)=b$（其中$b\in\Bbb{Z}/2^{n\Bbb{Z}$），那么可以推出$f(2}na)=0$，但到这里就不知道怎么继续了。我希望能自己独立解决这个问题，所以只需要给我一个提示就好！

嘿，你已经走对方向啦！给你几个小提示帮你突破瓶颈：

• 先回忆$\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$中元素的本质：每个元素都能写成$\frac{k}{m} + \Bbb{Z}$的形式（$k,m$为整数，$m>0$），而且这个元素的阶是$m$的约数，也就是$m\cdot\left(\frac{k}{m}+\Bbb{Z}\right)=0$在$\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$中成立。
• 结合你已经得到的$f(2^{na)=0$，不妨试试把$a$取成$\frac{1}{2}n} + \Bbb{Z}$这个具体元素，分析它在$f$下的像会有什么约束？
• 别忘了群同态的核心性质：$f(kx)=kf(x)$对任意整数$k$和群元素$x$都成立，把这个性质和$\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$里元素的有限阶特性结合起来，说不定能找到构造同态的方法，或者证明不存在的依据。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Poitou-Tate