关于方程∑_{i=1}^N r_i^D = 1（r_i∈(0,1)，N≥2）正解存在性与唯一性的证明咨询

嗨，这个问题其实用基础的微积分知识就能搞定，咱们分存在性和唯一性两部分来梳理：

一、存在性证明 #

首先定义函数：
$$f(D) = \sum_{i=1}^N r_i^D \quad (D > 0)$$
我们来分析这个函数在两个极端情况下的取值：

• 当$D$趋近于$0^{+$时，每个$r_i}D$的极限都是1（因为任何$(0,1)$内的数的0次方为1），所以$f(D) \to N$。题目里给定$N≥2$，这时候$f(D) > 1$。
• 当$D$趋近于$+∞$时，每个$r_i^D$的极限都是0（小于1的数的无穷大次方会趋近于0），所以$f(D) \to 0$，这时候$f(D) < 1$。

同时，$f(D)$是连续函数——因为每个$r_i^D$都是关于$D$的连续函数，连续函数的和依然连续。根据介值定理：对于连续函数$f(D)$，如果在区间端点处的函数值分别大于和小于1，那么必然存在某个$D_0 ∈ (0, +∞)$，使得$f(D_0) = 1$。这就证明了正解$D$的存在性。

二、唯一性证明 #

要证明唯一，只需要说明$f(D)$在$(0, +∞)$上是严格单调递减的：
对$f(D)$求导：
$$f'(D) = \sum_{i=1}^N r_i^D \cdot \ln r_i$$
因为每个$r_i ∈ (0,1)$，所以$\ln r_i < 0$，同时$r_i^D > 0$，因此每一项$r_i^D \cdot \ln r_i$都是负数，它们的和自然也是负数，即$f'(D) < 0$对所有$D>0$成立。

严格单调递减的函数和直线$y=1$最多只能有一个交点，所以满足$\sum_{i=1}^N r_i^D = 1$的正实数$D$是唯一的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wasradin