函数集合{1, cosx, sinx}在特定映射向量空间中的线性无关性验证问询

嘿，咱们一步步把这个线性无关性的问题捋清楚，你已经做了部分推导，咱们把它补全并明确结论~

首先先明确核心定义：要判断向量空间（从${k\pi : k \in \mathbb{N}}$到$\mathbb{R}$的所有映射构成的空间）里的集合${1, \cos x, \sin x}$是否线性无关，关键看：是否存在不全为0的实数$a,b,c$，使得对定义域里的每一个$x$，都有$a \cdot 1 + b \cdot \cos x + c \cdot \sin x = 0$。如果存在这样的非零系数组合，那集合就是线性相关的；反之才是线性无关的。

先看你已经完成的推导，这部分是完全正确的：

• 取$x=0$（属于定义域，无论$\mathbb{N}$是否包含0，$x=\pi$肯定在定义域内），代入式子得：
  $$a \cdot 1 + b \cdot \cos0 + c \cdot \sin0 = 0$$
  化简后得到$a + b = 0$，也就是$a = -b$；
• 再取$x=\pi$，代入得：
  $$a \cdot 1 + b \cdot \cos\pi + c \cdot \sin\pi = 0$$
  化简后得到$a - b = 0$，也就是$a = b$；
• 联立这两个等式，必然能推出$a = b = 0$。

接下来就是你疑惑的$c$的问题：咱们看定义域里的所有$x$都是$k\pi$（$k\in\mathbb{N}$），而$\sin(k\pi)=0$对所有整数$k$都成立。这意味着当$a=b=0$时，不管$c$取什么实数（比如$c=1$，或者任何非零数），式子$0\cdot1 + 0\cdot\cos x + c\cdot\sin x$在定义域的每一个$x$上都等于0。

换句话说，我们找到了一组不全为0的系数：$a=0, b=0, c=1$，使得对应的线性组合等于零映射。这就直接违反了线性无关的定义，所以这个集合不是线性无关的。

总结一下：问题出在这个特定的定义域上——$\sin x$在所有$k\pi$处都取0，相当于它是零向量的“倍数”，自然和集合里的其他向量线性相关了。如果把定义域换成整个$\mathbb{R}$，那这个集合就是线性无关的，但在这里的限制定义域下，它就失去了线性无关性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen