α₁≫1时sin(α₁cos(ωt))近似为α₁cos(ωt)的三角推导及合理性疑问

嘿，我太懂你这种抓耳挠腮的感觉了——看到这个结论的时候我第一反应也是“这绝对有问题啊！”毕竟咱们都知道对任意实数x，|sin(x)|≤1，如果α₁远大于1，那α₁cos(ωt)的绝对值分分钟能超过1（比如当cos(ωt)=±1时，这个值就是±α₁，完全是个大数），但sin的结果始终在-1到1之间晃，这俩怎么可能近似相等呢？

我帮你捋捋几种可能性：

• 最可能的情况：答案里的条件写反了
  如果把条件换成α₁≪1（也就是α₁远小于1），这个近似就完全合理了。咱们用泰勒级数展开sin(x)：
  sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 - ...
  当x=α₁cos(ωt)，且α₁非常小时，x的绝对值也很小，这时候高阶项（x³及以上）的数值可以忽略不计，只保留一阶项的话，就有：
  sin(α₁cos(ωt)) ≈ α₁cos(ωt)
  这才是符合三角近似逻辑的结论，大概率是答案里的符号或者条件搞混了。
• 有没有可能是表达式写错了？
  比如是不是把双曲正弦sinh(x)写成了sin(x)？不过sinh(x)在x很大的时候近似是e^x/2，也和α₁cos(ωt)搭不上边；或者是不是原式是sin(α₁)cos(ωt)？但即使α₁很大，sin(α₁)还是在-1到1之间，也不可能等于α₁cos(ωt)。
• 有没有特殊上下文？
  如果是在某种平均意义下的近似？比如对t取时间平均？但sin(α₁cos(ωt))的时间平均是第一类贝塞尔函数J₀(α₁)，而α₁cos(ωt)的时间平均是0，这也完全不沾边。

所以总的来说，你的疑问完全站得住脚——当α₁≫1时，这个给出的近似是完全错误的，大概率是答案把条件搞反成α₁≪1了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aleksander Lauridsen