有限马尔可夫链中通过修改吸收态计算状态返回概率的合理性问询

这个问题问得特别到位，其实你的老师这么操作的核心逻辑，是精准抓住了我们要计算的概率的本质——我们只关心从某个状态出发，是否会在某个时刻$n≥1$到达状态3，至于到达3之后链的后续行为，完全不影响这个事件的发生概率。下面我一步步拆解为什么这个操作是完全合理的：

先明确原问题的目标概率 #

我们要算的$\mathbb{P}(X_n=3 \text{ for some } n≥1 | X_0=3)$，本质是从状态3出发，最终会回到3的概率（也就是状态3的常返性相关概率）。老师一开始的拆分是对的：把第一步的所有可能状态（3、4、5、6）分开考虑，其中：

• 如果第一步就留在3（概率$p_{33}$），那直接满足“到达3”的条件；
• 如果第一步跳到4、5、6中的某个状态$i$，那接下来我们需要的就是从$i$出发，最终能到达3的概率——这就是老师引入$\mathbb{P}(X_n=3 \text{ for some }n≥1|X_0=i)$的原因。

为什么修改吸收态不改变我们要的概率？ #

当我们把状态3改成吸收态（也就是新转移矩阵$\tilde{\textbf{P}}$里让$\tilde{p}{33}=1$，其他$\tilde{p}{3j}=0$），新链$\tilde{X}_n$里的吸收概率$\alpha_i = \mathbb{P}(\tilde{X}_n=3 \text{ for some }n≥1|\tilde{X}_0=i)$，和原链中$\mathbb{P}(X_n=3 \text{ for some }n≥1|X_0=i)$是完全等价的，原因很简单：

• 在原链中，只要某个时刻到达了3，不管之后链怎么转移，“曾经到达过3”这个事件已经发生了，后续的状态变化不会推翻这个结果；
• 在新链中，一旦到达3就会被“冻结”（一直停在3），所以“被吸收到3”这个事件，和原链中“曾经到达过3”是完全一样的。

换句话说，我们要的概率只和是否到达过3这个事件有关，和到达3之后的任何行为都无关。把3改成吸收态，只是把到达3后的过程“截断”了，但完全不影响“是否到达3”这个事件的概率。

举个直观的例子 #

假设原链中从状态4出发，第一步有1/4的概率到3，到3之后又有1/5的概率跳回4。在原链中，从4出发“到达过3”的概率，就是不管第一次到3之后会不会跳走，只要曾经到过就算数；在新链中，到3之后就停住，所以“被吸收到3”的概率，和原链中“到达过3”的概率是一回事——因为第一次到3的时候，两个链的事件都已经成立了，后续的跳变不影响结果。

所以你的老师这个操作是马尔可夫链里计算可达概率、常返概率的标准技巧：通过将目标状态设为吸收态，把“是否到达该状态”的问题转化为吸收概率问题，这样可以简化方程组的求解（因为吸收态的方程会更简单），而且本质上和原问题的概率是完全等价的，不会改变结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2545