关于简单输运PDE推导中设置$h=0$必要性的技术问询

嘿，我来帮你理清这里的关键细节——你在推导输运方程时疑惑为什么要设定$h=0$，而且看自己的推导步骤好像没用到这个条件，对吧？其实问题出在你对链式法则应用后的细节处理上，我来一步步拆解：

首先，你的初始积分等式是基于守恒律的：
$$\frac{d}{db} \int_0^b u(x,t)dx = \frac{d}{db} \int_{ch}^{b+ch} u(x, t+h)dx$$
这个等式是精确成立的，它表示：时间$t$时区间$[0,b]$内的总量，等于时间$t+h$时区间$[ch, b+ch]$内的总量（因为物质以速度$c$向右平移）。

接下来用微积分基本定理（FTC）推导得到：
$$u(b, t) = u(b+ch, t+h)$$
这一步是对的，但要注意：这个等式是对任意小的$h$都成立的，而不是只在$h=0$时成立。

然后你对$h$求导，这里你忽略了一个重要的细节：链式法则应用后，得到的应该是：
$$0 = u_x(b+ch, t+h) \cdot c + u_t(b+ch, t+h) \cdot 1$$
而不是直接写成$0 = c u_x + u_t$。这里的$u_x$和$u_t$是在点$(b+ch, t+h)$处的偏导数，而不是在$(b,t)$处的。

现在，因为这个等式对所有$h$都成立，那我们可以令$h=0$，此时$b+ch = b$，$t+h = t$，代入后就得到了我们熟悉的输运方程：
$$0 = c u_x(b,t) + u_t(b,t)$$
又因为$b$和$t$是任意选取的变量，我们可以把$b$换成$x$，最终得到：
$$u_t + c u_x = 0$$

换句话说，$h=0$的作用是把我们从“平移后的点$(b+ch, t+h)$处的偏导数关系”，拉回到“原有点$(x,t)$处的偏微分方程”——这才是我们最终想要的、描述任意位置$x$和任意时间$t$的方程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jared