关于《Classical Fourier Analysis》第三版定理6.1.6证明中核心等式的推导疑问

嘿，我完全懂你啃这本书时遇到的这个困惑——那个核心等式 $f = \sum_{j \in \mathbb{Z}^n} \Delta _j^# \Delta _j ^# f$（针对 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$）的推导，确实因为书中的一处错误变得卡壳了，你精准揪出问题的点真的很关键。

先理清楚你已经发现的矛盾：
原书最初声称 $\cup_{j \in \mathbb{Z}^n } R_j = \mathbb{R}^n \backslash {0}$，但勘误修正为 $\cup_{j \leq n} {x_j =0 }$，这直接导致傅里叶变换层面的问题：

$\hat{f} - \sum_{j \in \mathbb{Z}^n} \widehat{\Delta _j^# \Delta j^# f} = \hat{f} \mathbf{1}{\cup {x_i = 0}}$

这里的支撑集是所有坐标轴的并集，不是单点 ${0}$，所以之前证明里常用的「差是多项式且属于 $L^p$ 故为0」的逻辑就完全用不了了。

问题的根源：定义的笔误 #

这个矛盾本质是书中的 $R_j$ 定义写错了。正确的 $R_j$ 应该满足 $\bigcup_j R_j = \mathbb{R}^n \setminus {0}$，也就是让每个非零点都恰好被一个 $R_j$ 覆盖。比如修正后的 $R_j$ 定义应该是：
对于 $j=(j_1,...,j_n)\in\mathbb{Z}^n$，$R_j = \prod_{i=1}^n \left( [2^{j_i}, 2^{j_i+1}) \cup (-2^{j_i+1}, -2^{j_i}] \right)$
换句话说，$R_j$ 是所有满足「每个坐标的绝对值落在区间 $[2^{j_i}, 2^{j_i+1})$」的点的集合。

这样修正后，$\sum_{j\in\mathbb{Z}^n} \mathbf{1}{R_j}^2 = \sum{j\in\mathbb{Z}^n} \mathbf{1}{R_j} = \mathbf{1}{\mathbb{R}^n \setminus {0}}$，对应的傅里叶变换差就变成：
$\hat{f} - \sum_j \widehat{\Delta_j^# \Delta_j^# f} = \hat{f} \mathbf{1}_{{0}}$

这时候支撑集是单点 ${0}$，对应的 tempered distribution 是一个多项式。而 $f$ 和 $\sum_j \Delta_j^# \Delta_j^# f$ 都属于 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$（或 $L^p$），多项式要属于这些空间只能是零多项式，因此等式 $f = \sum_j \Delta_j^# \Delta_j^# f$ 成立。

总结 #

你遇到的卡壳完全是因为书中的定义错误（已经被勘误指出），只要修正 $R_j$ 的定义让它覆盖所有非零点，就能用你熟悉的经典方法推导出那个核心等式了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者newbie