条件ab+bc+ca=3下的根式不等式证明求助

大家好，我最近遇到了这么一个不等式证明的问题，卡了好久没进展，想请各位帮忙看看怎么顺着我的思路继续往下推：

已知 (a,b,c>0) 且满足 (ab+bc+ca=3)，需要证明：
$$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{a+cb}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\ge 3.$$

我一开始尝试用AM-GM不等式来处理，但没找到合适的切入点，没能成功证明。后来我把原不等式做了等价转化，先得到了需要证明的第一个等价式：
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge (ab+c)(bc+a)(ca+b),$$

接着我把两边展开并化简，得到了第二个等价形式：
$$3(a+b+c)-abc\ge abc+(abc)^2+abc(a2+b^2+c2)+(ab)^2+(bc)2+(ca)^2,$$

再进一步整理后，变成了这样的不等式：
$$3(a+b+c)+4abc\ge (abc)^2+abc(a+b+c)2+9-2abc(a+b+c).$$

到这一步我就卡住了，不知道该怎么继续证明这个不等式是成立的。希望各位能帮我接着这个思路往下分析，非常感谢大家的关注！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1205829