含Pochhammer符号与双重求和的量子力学矩阵元表达式化简求助

各位大佬好，我正在处理量子力学问题中的一个矩阵元化简，这个表达式源自拉盖尔多项式的积分，目前已经完成了系数部分的化简，但卡在了双重求和的步骤上，想请教大家有没有可行的简化思路或者通用处理建议。

我要化简的初始矩阵元积分是：
$$
\langle n,0| r^2 |n',2\rangle = C \int_{0}^{\infty} t^6 e^{-t\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n'}\right)} L_{n-1}^{(1)}\left(\frac{2t}{n}\right) L_{n'-3}^{(5)}\left(\frac{2t}{n'}\right) dt
$$

我用了一个拉盖尔多项式积分的已知公式，先对应好了公式里的各个常数：

• $\alpha = 7$
• $a = \frac{2}{n}$
• $b = \frac{2}{n'}$
• $p = \frac{1}{n'} + \frac{1}{n}$
• $m = n - 1$（对应公式中的第一个拉盖尔多项式的指标）
• 公式中的第二个拉盖尔多项式指标对应 $n'-3$（这里注意和原矩阵元的主量子数$n$区分开）
• $\lambda = 1$
• $\beta = 5$

代入公式后，我已经把求和项前面的前置因子从：
$$
\Gamma(7) \cdot \frac{\text{Pochhammer}[2, n-1]}{(n-1)!} \cdot \frac{\text{Pochhammer}[6, n'-3]}{(n'-3)!}
$$
一步步化简到了：
$$
6! \cdot n \cdot \frac{n'(n'^2 - 1)(n'^2 - 4)(n' - 3)}{5!}
$$
最终得到了这个乘法系数：
$$
6 \cdot \left(\frac{nn'}{n+n'}\right)^7 \cdot n \cdot n' \cdot (n'^2 - 1) \cdot (n'^2 - 4) \cdot (n' - 3)
$$

现在我卡壳的是后面跟着的双重求和部分，这个求和里包含Pochhammer符号，还有$\frac{a}{p}$和$\frac{b}{p}$的幂次，实在不知道怎么进一步简化。求和的表达式如下：
$$
\sum_{j=0}^{n-1} \left[\frac{(\text{Pochhammer}[1-n, j] \text{Pochhammer}[7, j])}{(\text{Pochhammer}[2, j] j!)} \left(\frac{\frac{2}{n}}{\frac{1}{n'} + \frac{1}{n}}\right)^j \sum_{k=0}^{n'-3} \left[\frac{(\text{Pochhammer}[3-n', k] \text{Pochhammer}[7 + j, k])}{(\text{Pochhammer}[6, k] k!)} \left(\frac{\frac{2}{n'}}{\frac{1}{n'} + \frac{1}{n}}\right)^k\right]\right]
$$

有没有大佬能给点思路，告诉我怎么化简这个双重求和，或者处理这类带Pochhammer符号的求和的通用技巧？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Operator