证明同心圆法构造的图形为椭圆

嘿，你的思路完全找对方向了！用代数方法从同心圆的方程推导到椭圆标准方程，就能清晰证明这个构造出来的图形确实是椭圆。咱们先把同心圆法的构造逻辑明确下来，再一步步推导：

第一步：明确同心圆法的构造规则 #

• 以坐标原点为圆心，分别绘制半径为a（椭圆长半轴）和b（椭圆短半轴，满足a > b）的两个同心圆，对应的方程分别是：
  大圆：x² + y² = a²
  小圆：x² + y² = b²
• 从原点任意作一条射线，与大圆交于点P(x₁, y₁)，与小圆交于点Q(x₂, y₂)
• 过点P作垂直于y轴的直线，过点Q作垂直于x轴的直线，两条直线的交点M(x, y)就是构造出的图形上的点（根据构造规则，这里x = x₁，y = y₂）

第二步：用参数坐标推导椭圆方程 #

因为点P和Q在同一条从原点出发的射线上，我们可以用极角θ来表示它们的坐标：

• 对于大圆上的点P，它的参数坐标为：$x_1 = a\cosθ$，$y_1 = a\sinθ$（满足大圆方程$x_1^2 + y_1^2 = a^2$）
• 对于小圆上的点Q，它的参数坐标为：$x_2 = b\cosθ$，$y_2 = b\sinθ$（满足小圆方程$x_2^2 + y_2^2 = b^2$）

根据构造规则，交点M的坐标为$(x_1, y_2)$，也就是：
$x = a\cosθ$，$y = b\sinθ$

这其实就是椭圆的参数方程，我们再把它转化为标准形式：
从$x = a\cosθ$可得 $\cosθ = \frac{x}{a}$，从$y = b\sinθ$可得 $\sinθ = \frac{y}{b}$

根据三角函数的平方恒等式 $\cos^2θ + \sin^2θ = 1$，将上面两个式子代入：
$$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$$
也就是：
$$\frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} = 1$$

这正是椭圆的标准方程！

结论 #

每一条射线对应的极角θ，都会生成一个满足椭圆标准方程的点M；反过来，椭圆上的任意一点也都可以通过这样的射线构造得到。这就证明了同心圆法画出的图形确实是椭圆。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Schrödinger's Cat