关于商环Γ中d次型构成有限维向量空间的证明求助

大家好，我最近在啃代数几何相关的问题时遇到了瓶颈，想请教下各位大佬：

设$I$是多项式环$k[x_1, \ldots, x_{n+1}]$中的齐次理想，令
$$ \Gamma = k[x_1, \ldots, x_{n+1}]/I. $$
证明：Γ中所有d次型构成的集合是域$k$上的有限维向量空间。

我目前有一些零散的思路，但还没找到串联起来的方法：

• 能不能把这个问题和射影零点定理挂钩？射影零点定理提到$\mathbb{V}(I)=\varnothing$当且仅当存在某个$N$，使得$I$包含所有次数$\geq N$的型。
• 另外我想到Fulton教材第11页的推论4，它说对于理想$I$，$\mathbb{V}(I)$有限当且仅当$k[x_1, \ldots, x_n]/I$是$k$上的有限维向量空间。

但我还没搞清楚怎么把这两个点结合起来解决当前的问题，有没有大佬能给点提示或者梳理下思路呀？谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者alcithoe