关于拉盖尔多项式相关函数h(x)的下界证明问询

各位同仁好，我目前遇到一个涉及拉盖尔多项式的分析问题，希望能得到大家的思路或帮助：

问题背景与条件 #

给定正整数$n\in\mathbb{N}_{+}$，以及两个二次连续可微函数$f(x), g(x)\in C^2[0,+\infty)$，满足以下条件：

• 初始条件：$f(0)=0,\ g(0)=1$
• 微分方程关系：
  $$f'(x)=-\frac{1}{2}g(x)$$
  $$g'(x)=\frac{4n-x}{2x}f(x)$$

需要证明的结论 #

需要证明函数
$$h(x)=\sqrt{\frac{x}{4n-x}}g^{2(x)+\sqrt{\frac{4n-x}{x}}f}2(x)$$
在区间$[\frac{1}{n-1},4n-4]$上存在下界$\frac{1}{Cn}$，其中$C$是某个不依赖于$n$的常数。

补充说明：我对下界成立的精确区间不太确定，如果能证明在类似$[\frac{2}{n-1},4n-16\sqrt{n}]$这样的区间上有同样形式的$\frac{1}{Cn}$下界，也是完全可以接受的。

已完成的推导 #

我已经成功将$f(x)$和$g(x)$用拉盖尔多项式${L_n(x)}{n=0}^{\infty}$表示出来：
$$f(x)=e^{-\frac{1}{2}x}(L{n}(x)-L_{n-1}(x))$$
$$g(x)=e^{-\frac{1}{2}x}(L_{n}(x)+L_{n-1}(x))$$

但即便得到了这个表达式，我还是毫无头绪，不知道该如何利用拉盖尔多项式的性质来推导$h(x)$的下界。希望能得到各位的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者First Last