单位开球上导数满足特定有界条件的全纯函数泰勒系数不等式证明求助

问题描述 #

设单位开球 $B_1(0)=\lbrace z\in \mathbb{C}: |z|<1\rbrace$，考虑全纯函数 $f:B_1(0)\to \mathbb{C}$，满足对所有 $z\in B_1(0)$，有 $|f^{\prime}(z)|\leq \frac{1}{1-|z|}$。需要证明：
$$\left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\right|\leq e$$
这里 $f^{(n)}(0)$ 表示 $f$ 在0点的n阶导数。

我已经卡了快四个小时了，实在没什么头绪，求大家给点思路或者提示！

我的初步尝试 #

一开始我想把泰勒系数的信息联系起来，因为 $B_1(0)$ 是凸集，所以也是单连通的，而 $f$ 是全纯函数，自然可以用柯西积分公式：对任意 $0<r<1$，取闭曲线 $\gamma:[0,2\pi]\to B_1(0)$，定义为 $\gamma(t)=re^{2\pi it}$，那么有：
$$f^{(n)}(0)I(\gamma,0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z^{n}}dz$$
由此可以推出：
$$\left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\right|\leq \frac{\sup_{z\in \gamma}|f(z)|}{r^{n}}$$
这就是我从柯西积分公式得到的全部信息了。

另外，从导数的界可以知道，在 $z=0$ 处有 $|f^{\prime}(0)|\leq 1$，这让我直觉上觉得说不定其他系数也能被1控制，但目前完全不知道怎么推进。

思路更新（已解决） #

感谢评论区的大佬们给出的提示！我终于理清思路了，整理一下解法过程：

令 $g(z)=f^{\prime}(z)$，因为 $f$ 在单连通区域上全纯，所以它的所有导数也都在 $B_1(0)$ 上全纯，因此我们可以对 $g$ 应用柯西积分公式。对任意 $n\in \mathbb{N}$，取闭曲线 $\gamma_n:[0,2\pi]\to \mathbb{C}$，定义为 $\gamma(t)=r_ne^{2\pi it}$，根据柯西积分公式有：
$$g^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma_n}\frac{g(z)}{z^{n+1}}dz$$
两边取绝对值并整理，结合 $|g(z)|\leq \frac{1}{1-|z|}$ 的条件，可得：
$$\left| \frac{g^{(n)}(0)}{n!}\right|\leq \frac{1}{(1-r_n)r_n^{n}}$$

注意到 $g=f^{\prime}$，所以 $g^{(n)}(0)=f{(n+1)}(0)$，代入上式得到：
$$\left| \frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}\right|\leq \frac{1}{(1-r_n)r_n^{n}}$$
两边同时乘以 $\frac{1}{n+1}$，就得到关于泰勒系数的不等式：
$$\left| \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}\right|\leq \frac{1}{(1-r_n)r_n^{n}(n+1)}$$

接下来关键是选合适的 $r_n$，我们取 $r_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，代入上式计算：
$$\left| \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}\right|\leq \frac{1}{(1-\frac{n}{n+1})\cdot (\frac{n}{n+1})^n \cdot (n+1)} = \frac{1}{\frac{1}{n+1}\cdot (\frac{n}{n+1})^n \cdot (n+1)} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

我们知道对任意正整数 $n$，都有 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e$，而且当 $n\to\infty$ 时这个式子趋近于 $e$，因此对所有的 $n$，都有：
$$\left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\right|\leq e$$
正好符合我们要证明的结论！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brien Navarro