有限维向量空间中向量的非零系数基表示及相关线性映射矩阵构造问题问询

我最近在琢磨这么一个命题，想确认它是不是成立：

Claim: 设$W$是有限维向量空间，对任意非零向量$w\in W$，存在一组基$w_1,\cdots,w_n$，使得$w=a_1w_1+\cdots+a_nw_n$，而且每个系数$a_i$都不等于0（$i=1,\dots,n$）。

我自己试着想了个构造思路：先取$W$的任意一组基$w_1',\dots,w_n'$，假设$w$在这组基下的展开式是$w=a_1w_1'+\cdots+a_nw_n'$。如果其中某个$a_i=0$，我就把$w_i'$换成一个不在其余$n-1$个向量张成空间里的向量，这样就能得到$W$的另一组基。但问题来了——替换之后，$w$的系数并没有改变啊，所以我完全不确定这个思路能不能搞出符合要求的基。

这个命题是我在看一个线性映射问题的解答时想到的，如果这个命题成立，那那个解答简直太巧妙了。下面是相关的问题和解答：

相关问题与参考解答 #

问题 #

设$V$和$W$都是有限维向量空间，$T \in L(V,W)$。证明：若$\dim \text{range}~ T = 1$，则存在$V$的一组基和$W$的一组基，使得$T$在这两组基下的矩阵$M(T)$的所有元素都是1。

参考解答 #

取$V$的任意一组基${ v_1 , \ldots ,v_n}$，再取$\text{range}~ T$的一个生成元$w \in W$。不失一般性，我们可以假设$T v_i = \lambda_i w$且所有$\lambda_i \neq 0$（比如可以把所有$v_i$替换成$v_i + v$，其中$T v = w$）。

然后把$w$表示成某组基的线性组合$w = a_1w_1 + \cdots + a_mw_m$，要求每个$a_i \neq 0$（$i = 1,\ldots , m$）。

接着取$V$的基$\mathcal{B}_V = { \frac{v_1}{\lambda_1} , \cdots , \frac{v_n}{\lambda_n}}$，$W$的基$\mathcal{B}_W = {a_1w_1 , \cdots, a_mw_m}$。

注：我的命题和解答里用到的结论略有不同——我的命题是更一般的情况。如果我的命题不成立的话，希望能有人给我讲讲怎么证明解答里用到的那个关于$w$的表示的存在性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sathvik