无原子冯·诺依曼代数中L∞(0,1)投影性质的类比结果问询

嘿，咱们来聊聊这个从经典函数空间性质引申来的算子代数问题：

先回顾一下$L_\infty(0,1)$里的一个经典结论：任给$\varepsilon>0$，对任意序列${f_n}$属于$L_\infty(0,1)$，总能找到$(0,1)$的一个测度极小的子集$A$（满足$m(A)<\varepsilon$），使得对所有$n$都有$|f_n \chi_A|\infty =|f_n |\infty$。

现在想追问的是：这个性质能不能类比到无原子冯·诺依曼代数的场景里？具体的问题表述是：
设$M$是无原子冯·诺依曼代数，${x_n}$是$M$中的一个序列，能不能找到$M$里的一个投影$p$，它关于某个半有限忠实正规权$\omega$的“大小”非常小（也就是$\omega(p)<\varepsilon$），同时对所有$n$都满足$|x_n p|\infty =|x_n |\infty$？

先给大家说下已经有明确结论的情况：
对于半有限冯·诺依曼代数，这个结论是成立的，构造思路很清晰：

• 对每个$n$，先找一个足够“小”的投影$p_n$，使得$|x_n p_n|\infty =|x_n|\infty$；
• 令$p$为所有$p_n$的上确界投影，也就是$p:=\vee p_n$；
• 半有限代数上有迹$\tau$，满足$\tau(p)\le \sum_{n\ge 1}\tau(p_n)$，所以我们可以给每个$p_n$选足够小的迹，让它们的总和小于$\varepsilon$，这样就能保证$\tau(p)<\varepsilon$；
• 最后验证：对每个$n$，$|x_n p|\infty \ge |x_n p_n|\infty =|x_n|\infty$，而另一方面$|x_n p|\infty \le |x_n|\cdot|p| \le |x_n|_\infty$，所以等号必然成立。

但到了III型冯·诺依曼代数的情况，这个问题就棘手多了。因为III型代数没有非平凡的半有限迹，没法用上面那种通过迹的可加性来控制投影$p$“大小”的方法，目前还找不到类似的构造思路，暂时没有明确的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user92646