关于Spivak《流形上的微积分》中3-21题解法的正确性验证与优化问询

大家好，这是Michael Spivak所著《Calculus on Manifolds》中的Problem 3-21，我自己尝试完成了解答，但不确定解法是否正确，希望能得到社区的帮助：

• 我的解法是否正确？
• 如果正确，该如何进一步优化？
• 如果存在错误，烦请指出具体的错误点。

题目内容 #

Problem 3-21.
若$A$是闭矩形，证明$C\subset A$是Jordan可测的当且仅当对任意$\varepsilon>0$，存在$A$的一个划分$P$，使得$\sum_{S\in\mathcal{S_1}} v(S) - \sum_{S\in\mathcal{S_2}} v(S)<\varepsilon$，其中$\mathcal{S_1}$是所有与$C$相交的子矩形的集合，$\mathcal{S_2}$是所有包含在$C$中的子矩形的集合。

设$A=[a_1,b_1]\times\cdots\times [a_n,b_n]\subset\mathbb{R}^n$。

我的解法 #

必要性证明（Jordan可测 ⇒ 条件成立） #

假设$C\subset A$是Jordan可测的：

• $C$的边界$\partial C$测度为0；
• 由于$C$有界，$\partial C$也有界；又因为集合的边界是闭集，所以$\partial C$是紧集，因此$\partial C$的容度为0；
• 存在$\partial C$的一个矩形覆盖${U_1,\dots,U_m}$，满足$\sum_{i=1}^m v(U_i)<\varepsilon$，其中每个$U_i=[a_{i1},b_{i1}]\times\cdots\times [a_{in},b_{in}]$；
• 令$l=\max{b_1-a_1,\dots,b_n-a_n}$，取正整数$k$使得$\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}n (b_{ij}-a_{ij}+2\frac{l}{k})<\varepsilon$；
• 对每个$i\in{1,\dots,n}$，将$[a_i,b_i]$等分为$k$个子区间得到划分$P_i$，则$P=(P_1,\dots,P_n)$是$A$的一个划分；
• 对任意$S\in\mathcal{S_1}-\mathcal{S_2}$，$S$既与$C$相交又与$\mathbb{R}^n-C$相交，而$S$是连通集，故$S$必包含$\partial C$中的某点$x$；
• 由于${U_1,\dots,U_m}$覆盖$\partial C$，$x\in U_i$对某个$i$成立，且显然$S\subset [a_{i1}-\frac{l}{k},b_{i1}+\frac{l}{k}]\times\cdots\times [a_{in}-\frac{l}{k},b_{in}+\frac{l}{k}]$；
• 因此$\sum_{S\in\mathcal{S_1}-\mathcal{S_2}}v(S)=\sum_{S\in\mathcal{S_1}}v(S)-\sum_{S\in\mathcal{S_2}}v(S)\leq\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}n (b_{ij}-a_{ij}+2\frac{l}{k})<\varepsilon$，必要性得证。

充分性证明（条件成立 ⇒ Jordan可测） #

假设对任意$\varepsilon>0$，存在$A$的划分$P$使得$\sum_{S\in\mathcal{S_1}}v(S)-\sum_{S\in\mathcal{S_2}}v(S)<\varepsilon$：

• 任取$\varepsilon>0$，取满足上述条件的划分$P$；
• 对$\partial C$中的任意点$x$，易证存在$P$的子矩形$S$，使得$x\in S$，且$S\cap C\neq\varnothing$、$S\cap (\mathbb{R}^n-C)\neq\varnothing$，即$S\in\mathcal{S_1}-\mathcal{S_2}$；
• 令${U_1,\dots,U_m}=\mathcal{S_1}-\mathcal{S_2}$，则该集合是$\partial C$的一个覆盖，且$\sum_{i=1}^m v(U_i)<\varepsilon$；
• 这说明$\partial C$的容度为0，因此$C$是Jordan可测的，充分性得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者佐武五郎