ℓᵖ空间中紧算子闭像及p=1时对角算子T(B₁)闭性的问询

各位好，我最近在研究ℓᵖ空间里的对角算子像集的闭性问题，遇到了卡在p=1情况的难题，想请大家帮忙看看：

问题背景 #

假设我们有一个序列$(a_k)k$满足$\lim{k\to\infty}a_k = 0$（这个序列本身不一定属于$\ell^p$，其中$1 \le p < \infty$）。我们定义一个有界线性算子$T: \ell^p \to \ell^{p$，作用规则是把$\ell}p$中的任意元素$(x_k)_k$映射为$(a_k x_k)_k$。我现在想证明：$T(B_1)$是$\ell^{p$中的闭集，这里$B_1$是$\ell}p$的闭单位球。

已有的观察与进展 #

我已经梳理出了一些结论和思路：

• T是紧算子：可以用有限秩算子逼近T来证明——只取$(a_k)_k$的前n项，其余项设为0，构造出的有限秩算子序列会依算子范数收敛到T，所以T是紧算子。
• 当p>1时，T(B₁)是闭集：这时候$\ell^p$是自反空间，它的闭单位球是弱紧的，我可以利用弱紧性找到收敛子列的原像，从而证明像集的闭性。

我的困惑 #

现在我卡在了$p=1$的情况：

• 当$p=1$时，这个结论还成立吗？如果成立，该怎么证明？如果不成立，有没有具体的反例可以说明？
• 我自己尝试过的思路是：假设$T\vec{x}_k \to \vec{y}$，那一个候选的原像是$(y_k/a_k)_k$，但我根本没法证明这个序列属于$\ell^1$，卡在了这一步走不下去。

希望大家能给我一些思路或者例子，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gaga