向量空间子空间的判定及结论验证

我们先明确题目给出的向量空间定义：$V = { (a,0,0,b) : a,b \in \mathbb{R} } \subseteq \mathbb{R^4}$，接下来分两个问题逐一分析验证：

问题1：$W = { (a,b,c,d) \in \mathbb{R^4} : ab = c }$ 是否是 $\mathbb{R^4}$ 的子空间？ #

判断一个集合是否为子空间，需要同时满足三个核心条件：包含零向量、对加法封闭、对标量乘法封闭。我们逐个验证：

• 零向量验证：$\mathbb{R^4}$ 的零向量是 $(0,0,0,0)$，代入W的条件 $ab=c$，左边 $0 \cdot 0 = 0$，恰好等于右边的 $c=0$，所以零向量属于W。
• 加法封闭性验证：这一步不满足。假设取W中的两个向量 $v_1=(a_1,b_1,c_1,d_1)$（满足 $a_1b_1=c_1$）和 $v_2=(a_2,b_2,c_2,d_2)$（满足 $a_2b_2=c_2$），它们的和为 $v_1+v_2=(a_1+a_2, b_1+b_2, c_1+c_2, d_1+d_2)$。此时左边的乘积为 $(a_1+a_2)(b_1+b_2) = c_1 + a_1b_2 + a_2b_1 + c_2$，显然不等于右边要求的 $c_1+c_2$（除非 $a_1b_2 + a_2b_1=0$，但这不是普遍成立的情况）。比如取 $v_1=(1,1,1,0)$、$v_2=(1,1,1,0)$，它们的和是 $(2,2,2,0)$，但 $2 \cdot 2 =4 \neq 2$，不满足W的条件。因此W不满足加法封闭性，不是 $\mathbb{R^4}$ 的子空间。

问题2：$W = { (a,b,c,d) \in V : ab = c }$ 是否是 $V$ 的子空间？ #

同样按照子空间的三个条件验证：

• 零向量验证：V的零向量是 $(0,0,0,0)$，代入条件 $ab=c$ 后，$0 \cdot 0=0$，完全符合要求，所以零向量属于W。
• 加法封闭性验证：因为W是V的子集，所以W中的向量都符合V的形式——第二个分量为0、第三个分量为0。此时W的条件 $ab=c$ 中，$b=0$，因此左边 $a \cdot 0=0$，正好等于第三个分量 $c=0$，也就是说V中的所有向量都满足W的条件。那么任意两个W中的向量相加，结果依然是V中的向量，自然也属于W，满足加法封闭。
• 标量乘法封闭性验证：对任意实数 $k$ 和W中的向量 $(a,0,0,b)$，标量乘积为 $(ka,0,0,kb)$，代入条件后：$(ka) \cdot 0 =0$，而第三个分量是0，完全满足 $ab=c$ 的要求，因此标量乘法的结果也属于W。

综上，W满足子空间的所有条件，是V的子空间。

你的判断完全正确：这个W不是$\mathbb{R^4}$的子空间，但确实是V的子空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen