有限域扩张的形式光滑性与可分性逆命题证明及中间扩张相关性质问询

背景与待证问题 #

我们已经知道一个经典结论：若$L/K$是有限可分域扩张，则$L/K$是形式光滑的——具体来说，对任意交换环$B$及其满足$I^2=0$的理想$I$，任何交换图表都存在提升同态$\lambda:L\to B$，使得图表交换。

现在我需要证明它的逆命题：若$L/K$是有限且不可分的域扩张，则$L/K$不是形式光滑的。

我的证明尝试与卡点 #

我目前的推导思路如下：
假设$K$的特征为$p$（不可分扩张只在特征素数的域上存在），取$a\in L$且$a$不是$K$中的$p$次方元，先反设$K(\sqrt[p]{a})/K$是形式光滑的，试图导出矛盾。

首先我们有环同构：
$$K(\sqrt[p]{a})\otimes_{K} K(\sqrt[p]{a})\cong \frac{K(\sqrt[p]{a})[x]}{(x^{{p}-a)}\cong\frac{K(\sqrt[p]{a})[x]}{(x-\sqrt[p]{a})}{p}}$$
根据形式光滑性的相关传递性质，这个张量积环应该是形式光滑的，但实际上它显然不满足形式光滑的定义——这就是矛盾的核心，但我没办法严格证明$\frac{K(\sqrt[p]{a})[x]}{(x-\sqrt[p]{a})^{p}}$不是形式光滑的。

另外，为了把这个局部的矛盾推广到整个$L/K$的情况，我还需要一个中间结论：如果$L/K$是形式光滑的，且存在中间域$K\subseteq K_0\subseteq L$使得$L=K_0(\sqrt[p^{{r_1}]{a_1},\dots,\sqrt[p}{r_m}]{a_m})$，那么子扩张$K_0(\sqrt[p]{a_1})/K_0$也应该是形式光滑的，这样就能用前面的矛盾完成推导。但我不确定这个结论是否成立，本质上我想问的是：

给定域扩张链$K\subseteq F \subseteq L$，若$L/K$是形式光滑的，那么$L/F$和$F/K$是否都必然是形式光滑的？

这也是我推进证明的一个关键卡点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nagui