求自同态f的不动点空间Fix(f)的基

你的推导完全正确！咱们再梳理一遍整个过程，确保逻辑没问题：

首先，不动点空间$\text{Fix}(f)$的定义是所有满足$f(a)=a$的向量$a\in\mathbb{R}^3$的集合，所以我们需要解线性方程组：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\
0 & 1 & 0 \
3 & 0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x \
y \
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \
y \
z
\end{pmatrix}
$$

把左边展开后得到：
$$
\begin{pmatrix}
x + y + 2z \
y \
3x + z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \
y \
z
\end{pmatrix}
$$

接下来逐个分析方程：

• 第三个方程：$3x + z = z$，两边消去$z$直接得到$3x=0$，也就是$x=0$；
• 第一个方程：$x + y + 2z = x$，代入$x=0$后简化为$y + 2z = 0$，即$y=-2z$；
• 第二个方程：$y=y$，这是恒等式，没有额外限制。

所以所有不动点都可以表示为$z\begin{pmatrix}0 \ -2 \ 1\end{pmatrix}$，其中$z\in\mathbb{R}$。这说明$\text{Fix}(f)$是一维子空间，它的一个基就是$\begin{pmatrix}0 \ -2 \ 1\end{pmatrix}$。

你的结论完全没问题，推导过程也很严谨~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen