寻求满足φ*(φ!(M))≅φ*(N)但φ!(M)≇N的限制/扩张标量函子反例

我来给你提供一个完美符合要求的反例，咱们一步步说清楚：

选取环与同态 #

• 取整数环 $A = \mathbb{Z}$，二次数环 $B = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$（这个环是Dedekind环，它的类数为2，意味着存在非主理想，这是构造反例的关键）
• 环同态 $\varphi: A \to B$ 就是标准的嵌入映射：$\varphi(n) = n$，把整数直接映射到$B$中的常数元素。

选取模 #

• 取$A$-模 $M = \mathbb{Z}$，那么扩张标量后的模 $\varphi_!(M) = \mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$，显然这个张量积同构于$B$本身（作为$B$-模）。
• 再取$B$-模 $N = I$，其中$I = (2, 1+\sqrt{-5})$是$B$中的一个非主理想（你可以验证，这个理想无法由单个元素生成）。

验证条件 #

1. $\varphi_(\varphi_!(M)) \cong \varphi_(N)$（作为$A$-模）

   • $\varphi_*(\varphi_!(M))$就是把$B$当成$\mathbb{Z}$-模来看，它是自由$\mathbb{Z}$-模，基为${1, \sqrt{-5}}$，秩为2。
   • 非主理想$I$作为$\mathbb{Z}$-模也是自由秩2的：比如取基${2, 1+\sqrt{-5}}$，$I$里的任何元素都能写成$2a + (1+\sqrt{-5})b$（$a,b \in \mathbb{Z}$），且这两个元素在$\mathbb{Z}$上线性无关。所以$I$和$B$作为$\mathbb{Z}$-模都是秩2的自由模，自然同构。

2. $\varphi_!(M) \not\cong N$（作为$B$-模）

   • $\varphi_!(M) = B$是$B$上的秩1自由模，而$I$是$B$的非主理想。因为$B$的类数是2，非主理想不可能同构于$B$本身作为$B$-模——如果存在$B$-模同构$f: B \to I$，那$f(1)$就是$I$的生成元，这会直接导致$I$是主理想，和我们的选取矛盾。

为什么之前的尝试没成功 #

你之前试的$\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$例子不行，是因为$\mathbb{Q}$是域，域上的所有模都是向量空间，同维度的向量空间必然同构，所以找不到不同构的模。而这个例子用了类数大于1的数环，利用非主理想和环本身作为模的差异，刚好满足你的需求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Temoi