关于非简单过程随机积分及连续适应过程驱动的随机积分适应性的疑问

嘿，你的问题问到点子上了——这其实是随机积分定义里一个很关键的细节，很多人第一次学都会卡在这个极限的可测性上。我来一步步给你捋清楚：

首先，我们的核心目标是证明：作为${I_n(t)}$的p-极限，$I(t)$可以取成$\mathcal{F}_t$-可测的随机变量，这样整个过程$I$就是适应的（因为对每个$t$都满足$\mathcal{F}_t$-可测性）。

关键的测度论结论 #

你需要先记住一个测度论里的基础结论：如果一列$\mathcal{F}_t$-可测的随机变量${Z_n}$依p阶收敛到某个随机变量$Z$，那么一定存在一个$\mathcal{F}_t$-可测的随机变量$Z'$，使得$Z$和$Z'$几乎必然相等。换句话说，依p收敛的极限在几乎必然等价的意义下，总有一个$\mathcal{F}_t$-可测的版本。

结合你的随机积分场景 #

回到你的问题里：

• 每个$I_n(t) = \sum_{k}X_{t_{k}^{(n)}\wedge t}\left(Y_{t_{k+1}^{(n)}\wedge t}-Y_{t_{k}^{(n)}\wedge t}\right)$都是$\mathcal{F}_t$-可测的，这一点你已经理解了——毕竟每一项都是$\mathcal{F}_t$-可测变量的线性组合，自然属于$\mathcal{F}_t$。
• 当我们定义$I(t)$是${I_n(t)}$的p-极限时，严格来说我们是在**L^{p空间的等价类**层面定义的（L}p空间里把几乎必然相等的随机变量视为同一个元素）。所以哪怕从纯数学上存在一个非$\mathcal{F}_t$-可测的极限，我们也可以选择一个$\mathcal{F}_t$-可测的代表元作为我们的$I(t)$——这完全符合随机积分的定义逻辑，因为我们只关心随机变量在概率意义下的性质。

关于你提到的“概率计算”的疑惑 #

你担心的“计算$\mathbf{P}\left(\omega:\left|I_{n}-I\right|>\varepsilon\right)$”的问题其实也能解释：这里的$I$是我们特意选的$\mathcal{F}_t$-可测代表元，所以集合${\omega: |I_n - I|>\varepsilon}$自然属于$\mathcal{F}_t$，概率的计算是完全合法的。这并不是混淆了“可测”和“$\mathcal{F}_t$-可测”，而是我们主动选择了符合$\mathcal{F}_t$-可测性的极限版本。

更本质的角度：闭子空间性质 #

从L^{p空间的结构来看，全体$\mathcal{F}_t$-可测的p阶可积随机变量构成L}p空间的一个闭子空间——也就是说，这个子空间里的柯西列的极限（在L^p意义下）仍然属于这个子空间。而${I_n(t)}$就是这个闭子空间里的柯西列，所以它的极限等价类必然包含$\mathcal{F}_t$-可测的随机变量，这就是我们能取到适应版本的核心原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kapes Mate