关于带有伯努利误差项的AR(1)过程混合性与遍历性的技术问询

我最近在研究带伯努利误差项的时间序列过程的混合性，先从一个简化的先导例子入手分析，之后遇到了AR(1)模型的相关问题，想请教各位：

先导简化例子 #

考虑如下时间序列过程：
$$y_t=\rho^t y_0+\epsilon_t$$
其中 $0<\rho<1$，$\epsilon_t$ 是独立同分布的伯努利变量：$\epsilon_t\overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \text{Bernoulli} \left(\frac{1}{2} \right)$（即有50%概率取1，50%概率取0），初始值 $y_0$ 同样服从 $\text{Bernoulli} \left(\frac{1}{2}\right)$ 分布。

对于有限的 $t$，$y_t$ 有4种可能的结果：$0$、$1$、$\rho^t$ 和 $\rho^t+1$，每种结果的概率都是25%。我计算了联合概率与边际概率乘积的差异：
\begin{align}
P(y_t=1,y_0=1) &= P(y_0=1)P(y_t=1|y_0=1) \
&= \frac{1}{2} \times 0 \
&= 0 \
&\neq P(y_0=1)P(y_t=1) \
&= \frac{1}{2}\times\frac{1}{4} \
&= \frac{1}{8}
\end{align}

显然，$y_t$ 几乎必然收敛到 $\epsilon_t$（因为 $P(\underset{t\to\infty}{\lim}\rho^ty_0=0)=1$），而 $\epsilon_t$ 与 $y_0$ 独立，且 $y_t-\epsilon_t=O_{a.s.}(\rho^t)$。我观察到两个极限结果：
$$\lim_{t\to\infty}[P(y_t=1,y_0=1)-P(y_0=1)P(y_t=1)]=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$$
以及
$$\lim_{t\to\infty}[P(y_t=1|y_0=1)-P(y_t=1)]=0$$

这看起来说明该序列满足强混合性和一致混合性，但我不确定混合系数的收敛速率，也就是：
$$P(y_t=1,y_0=1) - P(y_0=1)P(y_t=1) = \mathcal{O}(?)$$

带伯努利误差的AR(1)模型问题 #

接下来我关注的是带有伯努利误差项的AR(1)模型，形式如下：
$$y_t=\rho y_{t-1}+\epsilon_t$$
其中初始值 $y_0=0$，$\epsilon_t\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{Bernoulli} \left(\frac{1}{2}\right)$。我们可以将 $t+n$ 时刻的变量展开为：
$$y_{t+n}=\rho^n y_{t}+\sum_{i=1}^{n}\rho{n-i}\epsilon_{t+i}$$

和第一个例子类似，这个序列看起来也应该满足一致混合性或强混合性，但我不清楚具体该如何证明这一点。有没有能给我一些思路、提示或者相关推导方向的朋友？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack