非连续黎曼可积函数的积分平移不变性证明
嘿，这个问题问到了点子上——当函数不连续时，确实没法直接调用依赖微积分基本定理的变元替换公式，这时候我们得回归黎曼积分的原始定义来推导，这才是解决这类问题的核心思路。
我们一步步来拆解：
首先回忆黎曼可积的定义：函数$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，意味着对于任意$\varepsilon>0$，总能找到$[a,b]$的一个分割$P={x_0=a, x_1, x_2, ..., x_n=b}$，使得该分割对应的上和$U(P,f)$与下和$L(P,f)$满足$U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$。
接下来，我们给区间$[a-d, b-d]$构造一个对应的分割$P'$：把原分割$P$里的每个点都减去$d$，也就是$P'={x_0-d=a-d, x_1-d, ..., x_n-d=b-d}$。很明显，$P'$是$[a-d, b-d]$的一个合法分割，而且每个小区间的长度$\Delta x_i'=(x_i-d)-(x_{i-1}-d)=\Delta x_i$，和原分割的小区间长度完全一致。
现在我们来看平移后的函数$f(x+d)$在分割$P'$下的上和与下和：
对于$P'$中的任意小区间$[x_{i-1}-d, x_i-d]$，令$t=x+d$，那么当$x$在这个区间内时，$t$恰好落在原分割的小区间$[x_{i-1}, x_i]$里。因此：
- $f(x+d)$在$[x_{i-1}-d, x_i-d]$上的上确界$M_i'=\sup{f(x+d)|x\in[x_{i-1}-d, x_i-d]}=\sup{f(t)|t\in[x_{i-1}, x_i]}=M_i$（也就是原函数$f$在$[x_{i-1},x_i]$上的上确界）
- 同理，下确界$m_i'=\inf{f(x+d)|x\in[x_{i-1}-d, x_i-d]}=\inf{f(t)|t\in[x_{i-1}, x_i]}=m_i$
由此可以推出：
$U(P', f(x+d))=\sum_{i=1}^n M_i'\Delta x_i'=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i=U(P,f)$
$L(P', f(x+d))=\sum_{i=1}^n m_i'\Delta x_i'=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i=L(P,f)$
所以$U(P', f(x+d))-L(P', f(x+d))=U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$，这就说明$f(x+d)$在$[a-d, b-d]$上也是黎曼可积的。
最后证明积分相等：
根据黎曼积分的定义，$\int_a^b f(x)dx$是所有上和的下确界，同时也是所有下和的上确界，即：
$\int_a^b f(x)dx=\inf{U(P,f)\mid P是[a,b]的分割}=\sup{L(P,f)\mid P是[a,b]的分割}$
而对于$f(x+d)$的积分，$\int_{a-d}^{b-d}f(x+d)dx=\inf{U(P', f(x+d))\mid P'是[a-d,b-d]的分割}$，但我们已经知道每个$P'$都对应一个原分割$P$，且$U(P', f(x+d))=U(P,f)$，所以这个下确界和$\int_a^b f(x)dx$的下确界完全相同。同理，从下和的角度也能得到一致的结论，因此：
$\int_a^b f(x)dx=\int_{a-d}^{b-d}f(x+d)dx$
你也可以用黎曼和的思路来验证：任取原分割的样本点$\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，对应$P'$的样本点$\xi_i'=\xi_i-d\in[x_{i-1}-d, x_i-d]$，那么黎曼和$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^n f(\xi_i'+d)\Delta x_i'$，当分割的细度趋于0时，两边的极限必然相等，这也能直接推出积分相等。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者TreasureGhost
