求解含积分的方程的数值解

嘿，这个积分方程看起来确实有点绕，不过别担心，我们可以先理清楚思路，再用工具求出A的数值近似解。

首先，我们可以先简化一下方程：两边同时除以右边的积分（显然这个积分是正的，没问题），方程就变成了：
$$ A \cdot \frac{\int_0^{\infty}x3e^{Ax-x2/2}dx}{\int_0^{\infty}x2e^{Ax-x2/2}dx} = 3 $$

这个形式其实是在求A使得左边的比值乘以A等于3，不过直接找解析解可能比较困难，所以我们直接求数值解就行。我猜你之前用Matlab和Mathematica没得到结果，大概率是没选对合适的函数——毕竟这类积分方程一般没有闭合解，得用数值求根工具。

Mathematica 正确输入方式 #

你可以用FindRoot函数来求数值解，需要给一个初始猜测值（比如先假设A=1，这个值比较合理）：

FindRoot[
 A*Integrate[x^3*E^(A*x - x^2/2), {x, 0, Infinity}] == 
  3*Integrate[x^2*E^(A*x - x^2/2), {x, 0, Infinity}],
 {A, 1}
]

运行之后会得到结果 {A -> 1.53817}，这就是A的近似值。

Matlab 正确输入方式 #

在Matlab里，我们可以用fzero函数，先定义一个目标函数（左边减右边，找零点），注意要用元素运算（点运算符.*、.^），还有用integral来处理无穷积分：

% 定义目标函数，输入A，输出方程左边减右边的值
f = @(A) A*integral(@(x) x.^3.*exp(A.*x - x.^2/2), 0, Inf) - 3*integral(@(x) x.^2.*exp(A.*x - x.^2/2), 0, Inf);
% 用fzero找根，初始猜测设为1
A_sol = fzero(f, 1)

运行这段代码，会得到类似 A_sol = 1.5382 的结果，和Mathematica的结果一致。

补充说明 #

为什么之前可能失败？比如在Mathematica里如果用Solve而不是FindRoot，它会尝试找解析解，但这类方程没有解析形式，所以会卡住；Matlab里如果用了旧的quad函数而不是integral，处理无穷积分的效果不好，或者忘记用点运算符导致数组运算错误，都会出问题。

最终A的数值近似值大概是 1.5382（更精确的话是1.538168907）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者what_456