关于Mendelson《数理逻辑导论》（第3版）习题2.26的疑问
嗨，我来帮你理清楚这个困惑～
你提到的这个问题，核心是对**演绎定理（Deduction Theorem）**的应用理解，很多刚接触谓词演算的同学都会在这里绕弯子。
首先，我们的目标是证明定理：
$$\vdash (\forall x) (\mathscr{A}\Rightarrow \mathscr{B}) \Rightarrow ((\forall x)\mathscr{A} \Rightarrow (\forall x)\mathscr{B})$$
这里的$\vdash$表示从空公理集可证，也就是这个式子是谓词演算$K$的定理。
为什么解法里会把$(\forall x)\mathscr{A}$也当作假设？这不是因为它能从$(\forall x)(\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B})$推导出来——你说得没错，这两个式子之间没有直接的推导关系。而是因为演绎定理给了我们一个证明蕴涵式的关键技巧：
如果我们能从假设集合$\Gamma \cup {C}$推导出$D$，那么就能从$\Gamma$推导出$C \Rightarrow D$。
放到这个问题里，我们要证明的是$\vdash H_1 \Rightarrow (H_2 \Rightarrow C)$（其中$H_1=(\forall x)(\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B})$，$H_2=(\forall x)\mathscr{A}$，$C=(\forall x)\mathscr{B}$）。根据演绎定理，这个目标等价于两步：
- 先证明从${H_1, H_2}$能推导出$C$；
- 再两次应用演绎定理，把假设$H_2$和$H_1$依次转化为蕴涵式的前件。
具体的推导步骤大概是这样的：
- 第一步：假设$H_1: (\forall x)(\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B})$，$H_2: (\forall x)\mathscr{A}$
- 第二步：对$H_1$用全称量词消去规则（UI），得到$\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B}$（满足UI的应用条件：$x$是自由变量，且代入合法）
- 第三步：对$H_2$用UI规则，得到$\mathscr{A}$
- 第四步：用分离规则（MP），从$\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B}$和$\mathscr{A}$推出$\mathscr{B}$
- 第五步：对$\mathscr{B}$用全称量词引入规则（UG），得到$(\forall x)\mathscr{B}$（这里UG的条件也满足：$x$不在$H_1$和$H_2$中自由出现，因为两个假设都是全称量化的式子）
到这里我们就完成了${H_1, H_2} \vdash (\forall x)\mathscr{B}$的证明。接下来两次应用演绎定理：
- 第一次：去掉假设$H_2$，得到${H_1} \vdash (\forall x)\mathscr{A} \Rightarrow (\forall x)\mathscr{B}$
- 第二次：去掉假设$H_1$，就得到了我们要证明的定理$\vdash (\forall x)(\mathscr{A}\Rightarrow\mathscr{B}) \Rightarrow ((\forall x)\mathscr{A} \Rightarrow (\forall x)\mathscr{B})$
所以简单来说，把$(\forall x)\mathscr{A}$当作假设是演绎定理的“临时技巧”——我们不是要证明它能从原前提推出，而是用它来搭建推导的桥梁，最后再通过演绎定理把这个临时假设转化成蕴涵式的一部分。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user918212
