如何修改printf命令，使用变量作为Ex模式匹配参数实现文本追加？

我当初编写脚本的时候，通过Stack Overflow这类渠道找到了一段printf的用法，当时以为完全符合我的需求：

printf '%s\n' '$+?multi_pack?a' "$content" .x | ex $log_output

这段代码在我的脚本里就是这样呈现的，我清楚它的作用，也大致了解printf的用法——它借助ex文本编辑器，在日志文件$log_output中multi_pack模式最后一次出现的位置后追加字符串$content（$content是通过命令替换content="$(cat $temp_file_2)"获取的，temp_file_2里存放着需要追加的文本）。

因为日志文件是通过循环生成的，这个模式可能会多次出现，我只需要定位到最后一次出现的位置，这样每次循环就能给新出现的模式追加对应的文本。

后来我想修改这个printf命令，把匹配模式换成变量，以此按需改变文本追加的位置。我尝试了两种写法：
第一种：

printf '%s\n' "$+?${my_new_variable}?a" "$content" . x | ex $log_output

第二种：

printf '%s\n' "$+?$my_new_variable?a" "$content" . x | ex $log_output

但输出结果都不符合预期。

补充说明 #

后来Barmar的回答解决了我的问题。我原本只是想确认自己的写法是否正确，以此排查输出异常的原因（之前也提过，问题可能根本不在这行代码上）。实际上printf只是个干扰项，真正执行模式匹配的是Ex编辑器。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user4019417