Skolem-Noether定理特殊情形下SLₙ(D)中扭转元素共轭元的选取问题
首先可以明确回答：是的，我们可以选取这样的元素(b \in SL_n(D))。下面是具体的推导过程：
步骤1：从Skolem-Noether定理的初始结论出发
已知(a \in SL_n(D))是扭转元素（即(a^m=1)），(F=Z(D))是(D)的中心（必然是域），且([F[a]:F]<\infty)，因此(F[a])是(F)的有限次域扩张。映射(\sigma: x \mapsto xi)是(F[a]/F)的一个非平凡自同构（因为(ai \neq a)），根据Skolem-Noether定理，存在(b_0 \in GL_n(D))使得(b_0 a b_0^{-1} = a^i)。我们的目标是把这个(b_0)调整为(SL_n(D))中的元素。
步骤2：分析(b_0)的行列式性质
这里我们用Dieudonné行列式映射(\det: GL_n(D) \to D*/[D,D*])，它是一个群同态，其中([D,D*])是(D*)的换位子群，而(SL_n(D))正是这个同态的核（即行列式类为1的元素集合）。
因为(a \in SL_n(D))，所以(\det(a)=1)，进而(\det(ai)=(\det(a))i=1)。同时，共轭操作不改变行列式的类，即(\det(b_0 a b_0^{-1}) = \det(a))，这说明(b_0)的存在是自洽的。
另外，由于(b_0)共轭作用于(F[a])实现自同构(\sigma)，可以推导出(\det(b_0))与(F[a])中所有元素交换，因此(\det(b_0))属于(C_D(F[a])^*)（(F[a])在(D)中的中心化子，是一个包含(F[a])的除环）。
步骤3：利用中心化子调整行列式
考虑(C_{GL_n(D)}(a))（(GL_n(D))中与(a)交换的元素构成的子群），根据中心化子定理，(C_{GL_n(D)}(a) = GL_t(C_D(F[a])))，其中(t = n/[F[a]:F])（因为(F[a])是(F)的(k)次扩张，嵌入到(M_n(D))后，其中心化子对应(t)阶矩阵环，元素取值于(C_D(F[a]))）。
Dieudonné行列式对(GL_t(C_D(F[a])))是满射：(\det: GL_t(C_D(F[a])) \to C_D(F[a])*/[C_D(F[a])*, C_D(F[a])*])。这意味着对于(\det(b_0){-1})（商群中的逆元），存在(u \in GL_t(C_D(F[a])) \subseteq C_{GL_n(D)}(a))使得(\det(u) = \det(b_0)^{-1})。
步骤4：构造满足条件的(b)
令(b = b_0 u)，则：
- (b \in GL_n(D))，且(\det(b) = \det(b_0) \det(u) = \det(b_0) \cdot \det(b_0)^{-1} = 1)，因此(b \in SL_n(D))；
- 由于(u)与(a)交换，(b a b^{-1} = b_0 u a u^{-1} b_0^{-1} = b_0 a b_0^{-1} = a^i \neq a)。
综上，我们成功构造了符合要求的(b \in SL_n(D))。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Reza Fallah Moghaddam
