如何用数论方法求解模3多项式$x^3+x^2+2x-1\equiv 0\pmod 3$的所有带重数的根

嘿，我来给你捋捋怎么用数论方法解这个模3的多项式方程，不用暴力试值也能搞定～

第一步：用费马小定理简化多项式 #

在模素数$p$的情况下，费马小定理告诉我们：对任意整数$x$，都有$x^p \equiv x \pmod{p}$。这里$p=3$，所以$x^3 \equiv x \pmod{3}$。

把这个结论代入原多项式$f(x)=x^3+x2+2x-1$，替换掉$x^3$项：

f(x) ≡ x + x^2 + 2x - 1 ≡ x^2 + 3x - 1 \pmod{3}

因为$3x \equiv 0 \pmod{3}$，所以式子可以进一步简化成：
$$x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$$
这就变成了一个简单的二次方程，解这个方程很容易：$x^2 \equiv 1 \pmod{3}$。在模3的整数中，只有$1^2=1$，$22=4 \equiv 1 \pmod{3}$，所以我们先找到了两个候选根：$x\equiv1$和$x\equiv2$。

第二步：确定根的重数 #

要判断根的重数，我们可以用多项式求导的方法（在模素数域中这个方法完全有效）：

先求$f(x)$的导数：

f'(x) = 3x^2 + 2x + 2

模3下$3x^2 \equiv 0$，所以导数简化为：
$$f'(x) \equiv 2x + 2 \pmod{3}$$

• 对根$x\equiv1$：代入导数得$f'(1)=2*1+2=4 \equiv1 \pmod{3}$，结果不等于0，说明$x\equiv1$是单根（重数为1）。
• 对根$x\equiv2$：代入导数得$f'(2)=2*2+2=6 \equiv0 \pmod{3}$，这说明它可能是重根。我们可以通过多项式除法验证：
  在模3下，$x-2$等价于$x+1$（因为$-2\equiv1\pmod{3}$），用$f(x)$除以$(x-2)$，得到商式为$x^{2+2$。把$x\equiv2$代入商式：$2}2+2=4+2=6\equiv0\pmod{3}$，说明$x\equiv2$也是商式的根，因此$f(x)$可以分解为：
  $$f(x) \equiv (x-1)(x-2)^2 \pmod{3}$$
  这就证明$x\equiv2$是二重根（重数为2）。

最终结论 #

这个模3多项式的所有带重数的根是：

• $x\equiv1 \pmod{3}$，重数1
• $x\equiv2 \pmod{3}$，重数2

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maci Simmons