关于Kallenberg《现代概率论基础》第3版中局部化博雷尔空间的定义与引入必要性的技术问询

我最近在对比Kallenberg的《Foundations of Modern Probability》第2版和第3版时，发现第3版新增了"局部化博雷尔空间"的概念，并且基于它重新定义了符号测度，这让我有点摸不着头脑，想在这里请教各位大佬。

先梳理一下第3版的相关定义 #

首先明确第3版里的几个核心概念：

1. 博雷尔同构与博雷尔空间：
   可测空间$(S,\mathcal{S})$和$(T,\mathcal{T})$是博雷尔同构的，当且仅当存在双射$f:T\to S$，使得$f$和$f^{-1}$都是可测的；而$(S,\mathcal{S})$是博雷尔空间，如果它与$[0,1]$的某个博雷尔子集博雷尔同构（特别地，所有波兰空间都是博雷尔空间）。
2. 局部化博雷尔空间与有界集环：
   给定博雷尔空间$(S,\mathcal{S})$，取一个局部化序列$E_n\uparrow S$（即$E_n\in\mathcal{S}$，且$E_n$递增到整个$S$），定义有界可测集为那些包含在某个$E_n$中的可测集，所有这类集合构成的环记为$\hat{\mathcal{S}}$。如果$\mathcal{S}$由度量$\rho$生成，$\hat{\mathcal{S}}$也可以取作所有$\rho$-有界的可测集。
3. 第3版中的符号测度：
   设$(S,\mathcal{S})$是局部化博雷尔空间，函数$\nu:\hat{\mathcal{S}}\to\mathbb{R}$，如果对任意两两不交的$B_i\in\hat{\mathcal{S}}$，有$\nu\left(\bigcup_n B_n\right)=\sum_n \nu(B_n)$，且该级数绝对收敛，那么$\nu$称为符号测度。

与第2版的常规定义对比 #

在第2版中，完全没有"局部化博雷尔空间"的讨论，符号测度的定义是我们熟悉的常规形式：

设$(\Omega,\mathcal{A})$是可测空间，$\nu:\mathcal{A}\to\mathbb{R}$是有界符号测度，当且仅当对任意两两不交的$B_i\in\mathcal{A}$，有$\nu\left(\bigcup_n B_n\right)=\sum_n \nu(B_n)$，且级数绝对收敛。

我的核心疑问 #

1. 第3版里为什么要引入"局部化博雷尔空间"这个概念，还要把符号测度的定义限制在有界集环$\hat{\mathcal{S}}$上，而不是像第2版那样直接定义在全$\sigma$-代数上？
2. 这种局部化的处理方式，相比第2版的常规定义，能解决哪些问题，或者能扩展哪些应用场景？
3. 第3版中符号测度的定义（在$\hat{\mathcal{S}}$上），和我们通常理解的定义在全$\sigma$-代数上的符号测度（允许取$\pm\infty$但不同时取）之间，有什么本质联系？

我自己初步猜测，这可能和处理非$\sigma$-有限的博雷尔空间有关？比如当全空间上的测度无限，但每个局部化的$E_n$上测度有限时，这种定义方式能更灵活地处理这类测度？不过这只是我的模糊猜测，希望能得到更准确的解释。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew