数学对称性的通用定义、分形对称性验证及递推关系相关问题咨询

嗨，咱们来一步步拆解你这些关于对称性的问题哈：

一、对称性定义的细化方向 #

你提到的「变换T作用后，性质p保持不变则称关于p对称」是对称性的核心框架，但确实可以从两个维度细化得更严谨：

• 明确变换T的集合属性：对称性通常不是针对单个变换，而是一组满足群规则（封闭性、结合律、有单位元、逆元）的变换集合。比如平面正方形的旋转对称，是指所有旋转90°、180°、270°、360°的操作构成的变换群，正方形在这个群的任意变换下都保持形状不变，这才是完整的对称描述。
• 明确性质p的具体范畴：p可以是几何性质（形状、距离、角度）、代数性质（函数表达式、方程解的结构）、甚至拓扑性质（连通性、紧致性）。比如对于函数来说，若关于y轴对称，那T是「x→-x」的反射变换，p是「函数值不变」这个代数性质。

二、用这个定义验证分形的对称性 #

你说分形常被描述为高度对称，用你给出的框架来解释的话：

• 变换T：这里的T是相似变换——也就是均匀缩放（收缩或扩张），有时还会结合平移、旋转等操作。比如科赫雪花，你把它的任意一个小分支放大3倍，就能和整个雪花的形状完全重合；曼德博集合的局部放大后，也会呈现和整体相似的复杂结构。
• 性质p：对应的p是自相似结构模式——简单说就是「局部与整体的形状、结构规律完全一致」。当对分形应用相似变换T后，变换后的图形和原图形在结构模式上完全重合，满足「p不变」的对称性定义。而且分形的对称是无限层级的，每一层局部都能通过相似变换对应到上一层，这也是它被称为「高度对称」的关键原因。

三、递推关系是否属于一种对称性？ #

这个得结合具体情况来看：

• 如果递推关系对应着某种变换下的不变性，那可以算作对称性的一种。比如斐波那契数列的递推公式「F(n)=F(n-1)+F(n-2)」，存在变换T（比如「把数列的第n项映射到第n+1项」的平移变换），而递推规则这个核心性质p在T作用下完全不变——不管你从数列的哪一项开始看，相邻三项的关系都符合这个公式，这时候就可以说数列关于这个平移变换在「递推规则」性质下是对称的。
• 但如果只是单纯的数值递推，没有对应的变换T让某个核心性质p保持不变，那不能直接等同于对称性。比如有些递推数列只是单纯的数值迭代，没有重复的结构模式，就不算对称。

另外你提到从评论里感觉没有数学对称性的特定定义，其实是因为对称性是一个依赖于变换和关注性质的通用概念——不同数学领域（几何、代数、拓扑）会根据自身需求细化出具体的对称定义，但核心都离不开「变换下的不变性」这个基础框架，并没有一个放之所有领域皆准的单一定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1153980