关于函数$f(z)=\frac{1}{(z-7)^{2}}+\sin\frac{1}{z-7}$在$z=7$处奇点分类的疑问

嗨，我来帮你理清这个困惑～

首先，先确认你的Laurent级数分析是对的：我们令$w = z-7$，函数就变成$\frac{1}{w^2} + \sin\frac{1}{w}$。$\sin\frac{1}{w}$的Laurent展开是$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} w^{{-(2n+1)}$，加上$\frac{1}{w}2}$之后，整个级数里包含了$w^{-2}, w^{-1}, w^{-3}, w^{-5}, \dots$无限多个负幂次项，根据本质奇点的定义，$z=7$（也就是$w=0$）确实是本质奇点。

接下来聊聊你纠结的那个定理：“$z_0$是极点当且仅当$\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$”，这个定理本身是完全正确的，但你对这个函数的极限判断有误——这个极限既不存在，也不是无穷大，原因在于复变函数的极限需要考虑所有趋近路径，而不是单一路径：

• 当你沿着实轴正方向趋近$z=7$时，$w=t\to0^{+$，$\frac{1}{t}2}$趋向$+\infty$，$\sin\frac{1}{t}$在$-1$到1之间振荡，整体确实趋向$+\infty$；
• 但如果取另一条路径：令$w=\frac{1}{2k\pi}$（$k$是正整数，$k\to+\infty$时$w\to0$），此时$\sin\frac{1}{w}=\sin(2k\pi)=0$，函数值就变成$\frac{1}{(2k\pi)^2}$，当$k$趋向无穷时，这个值趋向0；
• 甚至还能找到路径让函数值趋近于其他有限数，比如取$w=\frac{1}{2k\pi+\frac{\pi}{2}}$，此时$\sin\frac{1}{w}=1$，函数值是$(2k\pi+\frac{\pi}{2})^2 +1$，趋向$+\infty$；但取$w=\frac{1}{2k\pi+\frac{3\pi}{2}}$，$\sin\frac{1}{w}=-1$，函数值是$(2k\pi+\frac{3\pi}{2})^2 -1$，同样趋向$+\infty$。

关键在于，极限是无穷大的定义要求：对于任意大的正数$M$，存在一个小邻域，只要$z$在这个邻域内（除了$z_0$），$|f(z)|$就一定大于$M$。但刚才第二条路径里，我们能找到无限多个趋近于$z=7$的点，使得$|f(z)|$可以任意小，完全不满足这个条件，所以极限不是无穷大。

本质奇点的核心特性就是：在它的任意小邻域内，函数可以取到任意接近任何复数的值（皮卡定理），所以极限不可能存在，也不会是无穷大，这和你用Laurent级数得到的结论是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DanyWose