保持中心与长短轴比不变时，求解两椭圆相切的缩放因子的解析几何方案
我完全懂你的需求——在软件里做这个计算，数值迭代法（比如牛顿法）虽然能用，但解析解不仅更快，还能避开收敛性的坑。咱们一步步把这个问题拆解清楚：
一、先明确问题边界
我们要解决的核心问题：
- 两个椭圆的中心$(h_1,k_1)$和$(h_2,k_2)$固定不动，位置完全不改变
- 各自的长短轴比例$r_1 = a_1/b_1$、$r_2 = a_2/b_2$保持恒定
- 找到缩放因子$s$（假设缩放第一个椭圆，缩放后方程为$\frac{(x-h_1)^2}{(a_1 s)^2} + \frac{(y-k_1)^2}{(b_1 s)^2} = 1$），让两个椭圆恰好相切
二、特殊情况：长短轴比例相同的椭圆
你已经提到这个场景的解法，这里再补充下背后的逻辑：当$r_1=r_2$时，我们可以用仿射变换把两个椭圆都转成圆——仿射变换会保留相切关系、中心相对位置，以及缩放比例。变换后只需要算两圆心的距离，结合圆的半径关系就能直接算出$s$，再逆变换回去就得到椭圆的缩放因子。
对应的椭圆“有效半径”公式你也给出了：
$$\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}$$
这里的$\theta$取两中心连线的角度，代入后就能直接得到合适的$s$，这个方法确实能覆盖所有角度的情况。
三、通用情况：长短轴比例不同的椭圆
这才是真正的难点，但你找公共切点的思路完全正确——两个椭圆相切时，会有一个公共点，且在该点的切线完全重合。我们可以通过这个条件推导出解析方程，最终用求根公式直接求解。
推导步骤：
参数化公共切点
假设公共切点为$(x,y)$，它同时在两个椭圆上，因此满足：
$$\frac{(x-h_1)^2}{(a_1 s)^2} + \frac{(y-k_1)^2}{(b_1 s)^2} = 1 \tag{1}$$
$$\frac{(x-h_2)2}{a_22} + \frac{(y-k_2)2}{b_22} = 1 \tag{2}$$切线系数成比例条件
两个椭圆在$(x,y)$处的切线方程分别为：
$$\frac{(x-h_1)(X-h_1)}{(a_1 s)^2} + \frac{(y-k_1)(Y-k_1)}{(b_1 s)^2} = 1$$
$$\frac{(x-h_2)(X-h_2)}{a_2^2} + \frac{(y-k_2)(Y-k_2)}{b_2^2} = 1$$
因为是同一条切线，所以它们的$X$、$Y$系数必须成比例，即：
$$\frac{(x-h_1)/(a_1 s)2}{(x-h_2)/a_22} = \frac{(y-k_1)/(b_1 s)2}{(y-k_2)/b_22} = \lambda \tag{3}$$
（$\lambda$是比例常数）消去参数得到关于$s$的方程
从式(3)可以解出$(x-h_1)$和$(y-k_1)$的表达式：
$$x-h_1 = \lambda \cdot \frac{(a_1 s)2}{a_22} \cdot (x-h_2) \tag{4}$$
$$y-k_1 = \lambda \cdot \frac{(b_1 s)2}{b_22} \cdot (y-k_2) \tag{5}$$
注意到$x-h_2 = (x-h_1) + (h_1 - h_2)$，$y-k_2 = (y-k_1) + (k_1 - k_2)$，把式(4)(5)代入这个关系，就能消去$(x-h_2)$和$(y-k_2)$，得到只含$(x-h_1)$、$(y-k_1)$、$\lambda$、$s$的式子。再把这些代入式(1)和(2)，最终可以消去$\lambda$和$(x,y)$，得到一个关于$s$的代数方程，这个方程可以用求根公式直接求解。
简化计算的技巧
如果你的软件需要高效计算，可以先做坐标平移：把第一个椭圆的中心移到原点（即令$h_1=0,k_1=0$，$h_2=d_x=h_2-h_1$，$k_2=d_y=k_2-k_1$），这样能减少大量重复计算。
另外，你提到的demo里用$\theta = \tan^{-1} \left( -\frac{b}{a} \cdot m \right)$估算切点的方法是近似的，而上面的解析方法能精确求出$s$，并且全程不需要迭代。
四、总结
- 当两个椭圆长短轴比例相同时，用仿射变换转圆的方法，结合椭圆有效半径公式快速计算$s$
- 当比例不同时，通过公共切点的切线系数成比例条件，推导出关于$s$的解析方程，用求根公式求解即可，完全没有数值迭代的开销
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Beygi
