关于Deimling《Nonlinear Analysis》中Jordan分离定理证明里无限集合基数相等的困惑

API 探路者

2026-4-21

嘿，我最近在读Deimling的《Nonlinear Analysis》，卡在了第27页Jordan分离定理的证明环节，想请教下大家。

问题是这样的：我们需要证明两个集合$I_1$和$I_2$具有相同的基数，用到了一组带整数系数的求和条件：
已知$a_{ij} \in \mathbb{Z}$，且满足
$$
\begin{cases}
1 = \sum_{j\in I_1} a_{ij} \ \text{ 对任意 } i \in I_2\
1 = \sum_{i\in I_2} a_{ij} \ \text{ 对任意 } j \in I_1\
\end{cases}
$$

如果是有限集合的情况，证明很直观：
$$#I_2 = \sum_{i\in I_2} \sum_{j\in I_1} a_{ij} = \sum_{j\in I_1}\sum_{i\in I_2} a_{ij} = #I_1 $$
直接交换求和顺序就能得到基数相等的结论。

但书里说这个结论即使是无限集合也成立，这就让我特别困惑了——毕竟无限求和可能发散到无穷，而且交换求和顺序也不是无条件可行的。

我自己尝试用反证法来推导，假设一个集合有限、另一个无限，比如设$I_2 = \mathbb{N}$而$I_1= {1,...,N_0}$，然后一步步推：
$$1 = \sum_{j=1}^{N_0} a_{ij}\Rightarrow\
\Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{N_0} a_{ij} = \lim_{k\to\infty}k\
\Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{{N_0}\sum_{i=1}}k a_{ij} = \infty\
\Rightarrow \sum_{j=1}^{{N_0}\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}}k a_{ij} = \infty\
\Rightarrow\sum_{j=1}^{N_0} \sum_{i=1}^\infty a_{ij} = \infty\\
\Rightarrow \sum_{j=1}^{N_0} 1 = \infty\
\Rightarrow N_0 = \infty
$$
但这个推导实在太不严谨了，尤其是交换极限和求和那一步，完全没有合理的依据支撑，感觉就是硬凑出来的矛盾。

下面是书中该证明部分的截图：