关于有界自伴算子和的谱的定理验证与文献适用性咨询

我之前提问过为什么需要求卷积与函数乘法算子之和的谱，这是后续问题——我找到了一个定理，看起来能解决我的问题，想请熟悉算子谱理论的朋友帮忙看看：

定理：设$L_1$和$L_2$是$L^2(\mathbb{R})$上的两个有界自伴算子，它们的谱分别是区间$[0,1]$和$[a,b]$，则有：

1. $a\leq \frac{\left<v,(L_1+L_2)v\right>}{||v||^2}\leq 1+b$
2. $\sigma(L_1+L_2)\subset [a,1+b]$
   其中$\left<\cdot,\cdot\right>$和$||\cdot||$分别表示$L^2(\mathbb{R})$上的内积和范数。

我的证明思路 #

因为$L_1$和$L_2$都是自伴算子，结合它们的谱范围，我们可以得到：

• $0\leq \frac{\left<v,L_1v\right>}{||v||^2}\leq 1$
• $a\leq \frac{\left<v,L_2v\right>}{||v||^2}\leq b$

把这两个不等式相加就能得到定理里的第一个结论；又因为自伴算子的谱和其二次型的取值范围是等价的，所以第一个结论和第二个结论是等价的。

我的疑问与查到的文献 #

我找到了一篇论文，它在更一般的情形下（不一定自伴或有界）针对Fredholm谱做了讨论，其中的条件$L_1L_2$是紧算子我可以验证，而且我确认Fredholm谱就是我需要的本质谱。

之后我又看到一篇更新的关于有界自伴算子的论文，作者改进了一个结论：在同样的紧算子条件下，算子和的本质谱等于两个算子本质谱的和（去掉零特征值）。

现在我有几个问题想请教：

• 我提出的这个定理是不是一个 trivial（显然）的结论？
• 我的证明思路是否正确？
• 我看到的第二篇论文的结论是不是我应该用的？
• 如果我对第二篇论文的理解没错的话，是不是定理里的不等式其实是等式，而且$\subset$可以换成$=$？

感觉一切看起来都通顺，但还是想请对这些领域更有把握的人帮忙把关一下。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gateau au fromage