模的外直和同构与对应子模内直和关系的技术问询

嗨，这个问题问得很关键，我们先把核心定义和你的疑问拆解清楚：

首先明确内直和的定义（你已经给出）：

一个模$M$是子模$N_1,\dots,N_k$的内直和当且仅当对任意$m\in M$，存在唯一的$n_1\in N_1,\dots,n_k\in N_k$，使得$m=n_1+n_2+\dots+n_k$。

你的疑问是：如果$M$同构于$N_1,\dots,N_k$的外直和，但同构映射不是那种把$(n_1,\dots,n_k)$直接映射到$n_1+\dots+n_k$的标准映射，那$M$是不是一定是这些子模的内直和？

答案是不一定，我们可以通过具体的反例来理解：

举个$\mathbb{Z}$-模（也就是交换群）的例子：

• 取$M=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（这是一个4阶的初等阿贝尔2-群）；
• 取两个子模$N_1=N_2={(0,0),(1,0)}$（也就是$M$中第二个分量为0的元素构成的子模）。

首先看外直和$N_1\oplus N_2$：它的元素是形如$((a,0),(b,0))$的对，其中$a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，这个外直和作为$\mathbb{Z}$-模，与$M$是同构的——因为它们都是4阶的交换群，而4阶初等阿贝尔群只有一种结构，所以存在同构映射，比如我们可以定义$f: N_1\oplus N_2 \to M$为$f((a,0),(b,0))=(a,b)$，这个映射显然是双射，并且保持加法，是同构。

但显然$M$不是$N_1$和$N_2$的内直和：

• 交集非零：$N_1\cap N_2=N_1\neq{0}$，而内直和的等价条件之一就是任意子模与其他子模和的交集是零子模；
• 表示不唯一：比如元素$(1,0)\in M$，可以写成$(1,0)+(0,0)$（来自$N_1$和$N_2$），也可以写成$(0,0)+(1,0)$，不满足内直和要求的唯一性；
• 和不是整个$M$：$N_1+N_2=N_1\subsetneq M$，连生成整个模都做不到，更别说直和了。

那为什么当同构是标准的求和映射时成立呢？因为那个标准映射$f(n_1,\dots,n_k)=n_1+\dots+n_k$如果是同构，就意味着这个映射是双射：

• 满射说明$N_1+\dots+N_k=M$；
• 单射说明如果$n_1+\dots+n_k=0$，则每个$n_i=0$，这等价于内直和的唯一性条件（因为如果有两种表示$m=n_1+\dots+n_k=n_1'+\dots+n_k'$，则$(n_1-n_1')+\dots+(n_k-n_k')=0$，由单射得每个$n_i=n_i'$）。

但如果同构映射是其他形式，它只是保证$M$和外直和作为模的结构一样，但并没有把外直和的“分量”对应到$M$中给定的$N_1,\dots,N_k$的求和结构上，所以自然不能推出$M$是这些子模的内直和。

总结一下：只有当同构映射恰好是将外直和的分量映射到$M$中对应子模的和时，才能推出$M$是内直和；如果同构是任意的，那这个结论不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者patchouli