关于递减事件序列极限事件独立性推导的正确性问询

嘿，你的推导完全正确！咱们来一步步确认每一步的合理性：

首先，你注意到当$A_1\supset A_2\supset A_3,\ldots$且$A_n\rightarrow A$（也就是$A=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$）时，$B\cap A_1\supset B\cap A_2\supset\cdots$这个结论是对的——因为如果每个$A_n$都包含$A_{n+1}$，那么它们和固定事件$B$的交集自然也保持递减关系，这个序列的极限就是$B\cap A$，毕竟$B$和交集的运算可以交换顺序：$B\cap\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\bigcap_{n=1}^\infty (B\cap A_n)$。

接下来你用到了概率测度的连续性从上方性质，这一步非常关键：对于递减的可测事件序列，只要其中至少有一个事件的概率有限（在概率空间里所有事件的概率都≤1，所以必然满足这个条件），序列的概率极限就等于极限事件的概率，也就是$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P[B\cap A_n] = P[B\cap A]$，这部分没问题。

然后利用$B$和所有$A_n$独立的条件，把$P[B\cap A_n]$拆成$P[B]P[A_n]$，这是独立性的定义，完全正确。之后你把常数$P[B]$从极限里提出来，得到$P[B]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P[A_n]$，这是极限运算的基本性质（常数可以和极限交换顺序）。

最后再用一次连续性从上方，因为$A_n$是递减序列，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P[A_n]=P[A]$，这样就得到了$P[B\cap A]=P[B]P[A]$，刚好满足$B$和$A$独立的定义。

整个推导逻辑严谨，每一步都有对应的概率理论支撑，没有漏洞~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ian L