关于基变换矩阵列向量构成的疑问

别担心，这个问题一点都不蠢——很多刚开始啃线性代数的人都会卡在这儿，我当初学的时候也绕了好一会儿才搞明白！

咱们先把基变换矩阵的核心作用拎清楚：$P_{A \to B}$的任务是把一个向量在基A下的坐标，转换成它在基B下的坐标。搞懂这个目标，就能顺理成章推导出它的列为什么是$[a_i]_B$了。

假设：

• 基A是 ${a_1, a_2, ..., a_n}$
• 基B是 ${b_1, b_2, ..., b_n}$
• 任意向量$v$在基A下的坐标是 $[x_1, x_2, ..., x_n]^T$，意思是 $v = x_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_na_n$

现在我们要找$v$在基B下的坐标 $[y_1, y_2, ..., y_n]^T$，也就是要把$v$写成 $v = y_1b_1 + y_2b_2 + ... + y_nb_n$的形式。

那第一步，基A里的每个向量$a_i$，肯定都能用基B的向量线性表示吧？比如$a_1 = c_{11}b_1 + c_{21}b_2 + ... + c_{n1}b_n$，这里的 $[c_{11}, c_{21}, ..., c_{n1}]^T$ 就是$a_1$在基B下的坐标，也就是 $[a_1]B$；同理，$a_i = c{1i}b_1 + c_{2i}b_2 + ... + c_{ni}b_n$，对应的坐标就是 $[a_i]_B$。

接下来把$v$的展开式代入：

v = x₁a₁ + x₂a₂ + ... + xₙaₙ
  = x₁(c₁₁b₁ + c₂₁b₂ + ... + cₙ₁bₙ) + x₂(c₁₂b₁ + c₂₂b₂ + ... + cₙ₂bₙ) + ... + xₙ(c₁ₙb₁ + c₂ₙb₂ + ... + cₙₙbₙ)

把$b_1$到$b_n$的系数分别合并，就能得到：

v = (x₁c₁₁ + x₂c₁₂ + ... + xₙc₁ₙ)b₁ + (x₁c₂₁ + x₂c₂₂ + ... + xₙc₂ₙ)b₂ + ... + (x₁cₙ₁ + x₂cₙ₂ + ... + xₙcₙₙ)bₙ

而根据$v$在基B下的定义，$y_j = x_1c_{j1} + x_2c_{j2} + ... + x_nc_{jn}$。把这个写成矩阵形式就是：

[y₁]   [c₁₁ c₁₂ ... c₁ₙ] [x₁]
[y₂] = [c₂₁ c₂₂ ... c₂ₙ] [x₂]
...    ...               ...
[yₙ]   [cₙ₁ cₙ₂ ... cₙₙ] [xₙ]

你看，右边的矩阵就是$P_{A \to B}$，它的第i列正好是 $[c_{1i}, c_{2i}, ..., c_{ni}]^T$，也就是 $[a_i]_B$！

咱们举个具体的例子验证一下：
比如二维空间里，基A是标准基 ${(1,0), (0,1)}$，基B是 ${(1,1), (1,-1)}$。

• $a_1=(1,0)$用基B表示：解 $(1,0) = s(1,1) + t(1,-1)$，得到$s=0.5$，$t=0.5$，所以 $[a_1]_B = [0.5, 0.5]^T$
• $a_2=(0,1)$用基B表示：解 $(0,1) = s(1,1) + t(1,-1)$，得到$s=0.5$，$t=-0.5$，所以 $[a_2]_B = [0.5, -0.5]^T$

那$P_{A \to B}$就是：

[0.5  0.5]
[0.5 -0.5]

现在拿向量$v=(2,3)$，它在基A下的坐标是 $[2,3]^T$。用$P_{A \to B}$乘这个坐标，得到 $[0.52 + 0.53, 0.52 + (-0.5)3]^T = [2.5, -0.5]^T$。
验证一下：$2.5(1,1) + (-0.5)(1,-1) = (2.5-0.5, 2.5+0.5) = (2,3)$，完全正确！

如果反过来用 $[b_i]_A$作为列，那矩阵会是 $\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}$，乘$[2,3]^{T$得到$[5,-1]}T$，这对应的向量是$5*(1,0)+(-1)*(0,1)=(5,-1)$，显然不是$v$，这就说明反过来是错的。

说白了，基变换矩阵的列是“原基向量在新基下的坐标”，这样才能把原基的线性组合，转换成新基的线性组合，完成坐标的转换。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TrustKibou