我目前正在研究一个带有确定性服务时间的泊松排队（M/D/1）问题，具体设定如下：

• 顾客到达服从泊松过程，平均到达率为$\lambda$（单位：顾客/分钟，到达间隔时间呈指数分布）
• 服务时间固定为$u$分钟
• 第一位顾客到达时，系统内没有等待队列

现在我在后续的几个问题上卡壳了，需要解决的内容包括：

• 推导第一位顾客逗留时间的概率密度函数（我自己有个初步结论，但想确认是否正确）
• 计算第一位顾客逗留时间的期望和标准差
• 同样地，推导第二位顾客逗留时间的概率密度函数，并计算其期望和标准差

我查了不少资料，但大多都是讲长期稳态下的通用均值情况，完全找不到针对首两位顾客这类特定场景的清晰说明，真心希望能得到大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IPreferAlgebra