关于群是否存在左零元或右零元的技术问询

嘿，我来帮你把这个逻辑捋明白！你觉得群里不可能只存在左零元或者右零元的直觉完全正确，核心就是群的定义里的几个关键性质会互相约束，咱们一步步拆解清楚：

• 先锚定群的核心定义：一个集合G配上运算构成群，必须满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元e（对任意g∈G，都有eg = ge = g）、每个元素都有逆元（对任意g∈G，都存在对应的g⁻¹∈G，使得gg⁻¹ = g⁻¹*g = e）。
• 假设群G里真有一个左零元z，也就是对任意g∈G，都有zg = z。那咱们拿群里的单位元e来代入试试：ze = z，但根据单位元的定义，ze应该等于z本身？别急，再用逆元的性质来推导——因为z是群里的元素，它肯定有逆元z⁻¹。我们对等式zg = z两边同时左乘z⁻¹，左边用结合律展开就是(z⁻¹z)g = eg = g；右边则是z⁻¹z = e。这就得出了一个结论：对任意g∈G，g = e。也就是说这个群只能是只有单位元e的单元素群？但这时候z=e，而e*g = g≠e，根本不符合零元的定义，矛盾了。
• 同理，如果假设存在右零元z（对任意g∈G，gz = z），咱们用同样的方法推导：对等式gz = z两边右乘z⁻¹，左边是g*(zz⁻¹) = ge = g，右边是z*z⁻¹ = e，同样得出g=e对所有g∈G成立，还是只能是单元素群，而单元素群里的唯一元素是单位元，不是零元。
• 总结一下：要么你以为的“左/右零元”其实是单位元，但这不符合零元的定义；要么就会推出群里所有元素都是单位元，这时候根本不存在零元。所以群里不可能单独存在左零元或者右零元，你的直觉完全没问题，只是需要用单位元和逆元的性质把这个逻辑链条串起来而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者requiemman