关于严格包含的对称凸体间中间对称凸体存在性的证明求助

当然存在这样的对称凸体B！其实构造方法很直观，利用对称凸体对应范数的性质就能轻松实现，我给你一步步讲清楚：

首先，你已经知道C和K分别对应范数$\lVert\cdot\rVert_{C}$和$\lVert\cdot\rVert_{K}$，而且因为$C\subsetneq K$（严格包含），有两个关键性质：

• 对任意$x\in\mathbb{R}^n$，$\lVert x\rVert_{K}\leq\lVert x\rVert_{C}$（因为如果$\lVert x\rVert_{C}\leq1$，则$x\in C\subset K$，所以$\lVert x\rVert_{K}\leq1$，再由范数的齐次性就能推导出这个不等式）；
• 存在某个点$x_0\in K\setminus C$，也就是$\lVert x_0\rVert_{K}\leq1$但$\lVert x_0\rVert_{C}>1$，显然此时$\lVert x_0\rVert_{K}<\lVert x_0\rVert_{C}$。

接下来我们构造一个新的范数$\lVert\cdot\rVert_{B}$，定义为：
$$\lVert x\rVert_{B} = \frac{1}{2}\left(\lVert x\rVert_{C} + \lVert x\rVert_{K}\right)$$

对应的单位球$B = {x\in\mathbb{R}^n \mid \lVert x\rVert_{B}\leq1}$，我们来验证它满足所有要求：

1. B是对称凸体：

   • 对称性：对任意$x\in B$，$\lVert -x\rVert_{B} = \frac{1}{2}\left(\lVert -x\rVert_{C} + \lVert -x\rVert_{K}\right) = \frac{1}{2}\left(\lVert x\rVert_{C} + \lVert x\rVert_{K}\right) = \lVert x\rVert_{B}\leq1$，所以$-x\in B$；
   • 凸性：范数的单位球天然满足凸性，这是范数三角不等式的直接结果——对任意$x,y\in B$和$\lambda\in[0,1]$，$\lVert \lambda x + (1-\lambda)y\rVert_{B} \leq \lambda\lVert x\rVert_{B} + (1-\lambda)\lVert y\rVert_{B} \leq \lambda\cdot1 + (1-\lambda)\cdot1 =1$，所以$\lambda x + (1-\lambda)y\in B$。

2. $C\subsetneq B$：

   • 包含关系：对任意$x\in C$，$\lVert x\rVert_{C}\leq1$，结合$\lVert x\rVert_{K}\leq\lVert x\rVert_{C}\leq1$，可得$\lVert x\rVert_{B} = \frac{1}{2}(\lVert x\rVert_{C}+\lVert x\rVert_{K}) \leq \frac{1}{2}(1+1)=1$，所以$x\in B$；
   • 严格包含：取刚才的$x_0\in K\setminus C$，令$t = \frac{2}{\lVert x_0\rVert_{C} + \lVert x_0\rVert_{K}}$，因为$\lVert x_0\rVert_{C}>1$且$\lVert x_0\rVert_{K}\leq1$，所以$\lVert x_0\rVert_{C}+\lVert x_0\rVert_{K} >1+0=1$，且$t > \frac{2}{\lVert x_0\rVert_{C}+\lVert x_0\rVert_{C}} = \frac{1}{\lVert x_0\rVert_{C}}$。此时$z = t x_0$满足：
     • $\lVert z\rVert_{C} = t\lVert x_0\rVert_{C} = \frac{2\lVert x_0\rVert_{C}}{\lVert x_0\rVert_{C}+\lVert x_0\rVert_{K}} > \frac{2\lVert x_0\rVert_{C}}{\lVert x_0\rVert_{C}+\lVert x_0\rVert_{C}} =1$，所以$z\notin C$；
     • $\lVert z\rVert_{B} = \frac{1}{2}(t\lVert x_0\rVert_{C} + t\lVert x_0\rVert_{K}) = \frac{t}{2}(\lVert x_0\rVert_{C}+\lVert x_0\rVert_{K}) =1$，所以$z\in B$。
       这说明$B$中存在不属于$C$的点，即$C\subsetneq B$。

3. $B\subsetneq K$：

   • 包含关系：对任意$x\in B$，$\lVert x\rVert_{B}\leq1$，结合$\lVert x\rVert_{C}\geq\lVert x\rVert_{K}$，可得$\lVert x\rVert_{K} \leq \frac{1}{2}(\lVert x\rVert_{C}+\lVert x\rVert_{K}) = \lVert x\rVert_{B}\leq1$，所以$x\in K$；
   • 严格包含：还是看$x_0\in K\setminus C$，$\lVert x_0\rVert_{C}>1$，$\lVert x_0\rVert_{K}\leq1$，所以$\lVert x_0\rVert_{B} = \frac{1}{2}(\text{大于1的数} + \text{小于等于1的数}) > \frac{1}{2}(1+1)=1$，即$\lVert x_0\rVert_{B}>1$，所以$x_0\notin B$但$x_0\in K$，说明$B\subsetneq K$。

除了这种范数平均的构造，你还可以用Minkowski和的方式：取$\lambda\in(0,1)$，令$B = \lambda C + (1-\lambda)K$（这里的+是Minkowski和，即所有$\lambda c + (1-\lambda)k$，其中$c\in C,k\in K$），同样能证明这是一个介于$C$和$K$之间的对称凸体，思路和上面类似，你可以自己试试看~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raul Fernandes Horta