四阶齐次常微分方程边值问题非平凡解存在性的推导求助

我现在卡在这个四阶常微分方程问题的(b)部分了，已经得到了齐次方程组，但就是推不下去。特意查了双曲函数相关的三角恒等式，可还是没找到能推进的方向，想求助大家帮忙看看！

问题内容 #

考虑方程：
$$y^{(4)} - k^4y = 0$$
其中$k$为实常数。

(a) 证明当$k \neq 0$时，$\cos(kx)$、$\sin(kx)$、$\cosh(kx)$、$\sinh(kx)$都是方程的解。

(b) 证明存在满足边界条件$\phi(0) = 0$，$\phi'(0) = 0$，$\phi(1) = 0$，$\phi'(1) = 0$的非平凡解$\phi$，当且仅当$\cos(k)\cosh(k) = 1$且$k \neq 0$。

我的推导过程 #

已经完成了(a)的证明，所以通解可以表示为：
$$\phi(x)=C_1\sin(kx)+C_2\cos(kx)+C_3\sinh(kx)+C_4\cosh(kx)$$

接下来代入边界条件：

1. 由$\phi(0) = 0$，可得：
   $$\phi(0)=C_2+C_4=0 \tag{1}$$
2. 先求导：
   $$\phi'(x)=C_1k\cos(kx)-C_2k\sin(kx)+C_3k\cosh(kx)+C_4k\sinh(kx)$$
   由$\phi'(0) = 0$，且$k \neq 0$，可得：
   $$C_1+C_3=0 \tag{2}$$
3. 由$\phi(1) = 0$，代入通解得：
   $$C_1\sin(k)+C_2\cos(k)+C_3\sinh(k)+C_4\cosh(k)=0 \tag{3}$$
4. 由$\phi'(1) = 0$，代入导数表达式并约去$k$（$k \neq 0$）得：
   $$C_1\cos(k)-C_2\sin(k)+C_3\cosh(k)+C_4\sinh(k)=0 \tag{4}$$

根据(1)(2)式，我们可以得到$C_2=-C_4$，$C_1=-C_3$，把这两个关系代入(3)(4)式，得到：
$$-C_3\sin(k)-C_4\cos(k)+C_3\sinh(k)+C_4\cosh(k)=0 \tag{5}$$
$$-C_3\cos(k)+C_4\sin(k)+C_3\cosh(k)+C_4\sinh(k)=0 \tag{6}$$

我尝试对(5)式乘以$\cosh(k)$，对(6)式乘以$-\sinh(k)$，然后把两个新的式子相加：
$$-C_3\sin(k)\cosh(k)-C_4\cos(k)\cosh(k)+C_3\sinh(k)\cosh(k)+C_4\cosh^2(k)=0$$
$$C_3\cos(k)\sinh(k)-C_4\sin(k)\sinh(k)-C_3\cosh(k)\sinh(k)-C_4\sinh^2(k)=0$$

相加后整理得到：
$$C_3(\cos(k)\sinh(k)-\sin(k)\cosh(k))-C_4(\sin(k)\sinh(k)+\cos(k)\cosh(k))+C_4(\cosh^2(k)-\sinh2(k))=0$$

利用双曲恒等式$\cosh^2(k)-\sinh2(k)=1$，化简后得到：
$$C_3(\cos(k)\sinh(k)-\sin(k)\cosh(k))-C_4(\sin(k)\sinh(k)+\cos(k)\cosh(k))+C_4=0$$

到这里我就卡壳了，不知道该怎么继续推导才能得到$\cos(k)\cosh(k)=1$这个条件，希望能得到大家的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者quantumpi